1、高频考点集中练三角与向量1.(2019全国卷)下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是()A.f(x)=|cos 2x|B.f(x)=|sin 2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|【命题思维分析】本题以三角函数图象与性质为背景,主要对函数图象的翻折、对称以及函数的奇偶性、周期性的考查,其中渗透直观想象、逻辑推理等数学素养.我们只要画出各函数图象,数形结合即可做出选择.【解析】选A.分别画出上述函数的图象可得选项A的周期为,选项B的周期为,而选项C的周期为2,选项D不是周期函数.结合图象的升降情况可得A正确.【真题拾贝】利用二个结论:函数y=的周期是函数y=f(x)周期的一
2、半;y=sin不是周期函数.2.(2019全国卷)设函数f(x)=sin(0),已知f(x)在0,2上有且仅有5个零点,下述四个结论:f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点f(x)在(0,2)有且仅有2个极小值点f(x)在上单调递增的取值范围是.其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.【解析】选D.若f(x)在0,2上有5个零点,可画出大致图象,由图1可知,f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点,故正确.由图1、图2可知,f(x)在(0,2)有且仅有2个或3个极小值点,故错误.当f(x)=sin=0时,x+=k(kZ),所以x=,因为f(x)在0,2上有5个零点.所以当k=5时,x=2
3、,当k=6时,x=2,解得,故正确.函数f(x)=sin的增区间为-+2kx+2k(kZ),x.取k=0,当=时,单调递增区间为-x;当=时,单调递增区间为-x,综上可得f(x)在上单调递增.故正确.所以结论正确的编号有.【真题拾贝】求解三角函数性质问题需具备(1)数形结合的能力,能准确画出图象或想象出三角函数的图象;(2)整体代入思想是求解单调区间,求三角函数的零点必备的思想;(3)三角有界思想,一般遇到求最值的问题,不仅要看角的范围,还要注意三角函数的有界性.3.(2017全国卷)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍
4、,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2【解析】选D.C1:y=cos x,C2:y=sin,首先把曲线C1,C2统一为同一三角函数名,可将C1:y=cos x用诱导公式处理.y=cos x=cos=sin.横坐标变换需将=1变成=2,即y=siny=sin=sin 2y=sin2x
5、+=sin2.注意的系数,在左右平移时需将=2提到括号外面,这时x+平移至x+,根据“左加右减”原则,“x+”到“x+”需加上,即再向左平移.【真题拾贝】对于三角函数图象变换问题,首先要将不同名函数转换成同名函数,利用诱导公式,需要重点记住sin =cos,cos=sin;在进行图象变换时,提倡先平移后伸缩,而先伸缩后平移在考试中经常出现,无论哪种变换,记住每一个变换总是对变量x而言.4.(2017全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则(+)的最小值是()A.-2B.-C.-D.-1【解析】选B.取BC的中点D,以BC为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点
6、建立坐标系,则A(0,),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),所以=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以+=(-2x,-2y),(+)=2x2-2y(-y)=2x2+2-,当P时,(+)取得最小值,最小值为-.【真题拾贝】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路:一是“形化”,即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断;二是“数化”,即利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.5. (2017全国卷)ABC的内
7、角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC的面积为.世纪金榜导学号(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.【解析】(1)因为ABC面积S=且S=bcsin A,所以=bcsin A,所以a2=bcsin2A,由正弦定理得sin2A=sin Bsin Csin2A,由sin A0得sin Bsin C=.(2)由(1)得sin Bsin C=,又cos Bcos C=,因为A+B+C=,所以cos A = cos=-cos=sin Bsin C-cos Bcos C = ,又因为A,所以A=,sin A=,cos A=,由余弦定理得a2=b2
8、+c2-bc=9,由正弦定理得b=sin B,c=sin C,所以bc=sin Bsin C=8,由得b+c=,所以a+b+c=3+,即ABC的周长为3+.【真题拾贝】根据已知条件配凑余弦定理是求解正余弦定理解三角形的必备技巧,一般根据题意配凑成平方和、平方差公式,及两角和、差的正余弦公式、二倍角公式综合运用.6.(2017山东高考)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,=-6,SABC=3,求A和a.世纪金榜导学号【命题思维分析】高考命题趋势经常把三角函数的图象与性质、正余弦定理以及向量有机结合起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和圆面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据.【解析】因为=-6,所以bccos A=-6,又SABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0A,所以A=,又b=3,所以c=2,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=9+8-232=29,所以a=.【真题拾贝】此类问题的主要方法有:化角法,化边法,面积法,运用初等几何法.注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想.