1、河南省新蔡县2020-2021学年高二数学上学期调研考试试题 理时间：120分钟分值：150分一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要1.设命题:,则为( )A. , B. ,C. , D. ,2若且，则下列不等式成立的是( )ABCD3九章算术“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共6升，下面节的容积共12升，则第5节的容积为（ ）升。A2B3C4D54.设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件5曲
2、线方程的化简结果为（ ）ABCD6.在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D. 7.若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）A. 1或13B. 1C. 13D. 1或128.给出如下四个命题：若“且”为假命题，则均为假命题；命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题；若是的必要条件，则是的充分条件；在中，“”是“”充要条件.其中正确的命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 49.圆的半径为6，圆心为是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 10.已知，等于（ ）
3、A. 1B. -1C. 3D. 611.如图，在四棱锥中，底面为正方形，且,其中，分别是，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：；面；面；其中恒成立的为（ ）A. B. C. D. 12.已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点,左右焦点分别为,且两条曲线在第一象限的交点为,是以为底边的等腰三角形,若,椭圆与双曲线的离心率分别为,则的取值范围是( )A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.抛物线的准线方程是_14.过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 15设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围_16.九章算术中的“邪田
4、”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪。在四棱锥 中，底面 为邪田，两畔分别为1，3，正广 为 ， 平面，邪所在直线与平面 所成角的大小为_.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.(本小题满分10分)已知命题p：直线yxm与焦点在x轴上的椭圆无公共点，命题q：方程表示双曲线。(1)若命题p是真命题，求实数m的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数t的取值范围。18.(本小题满分12分)求满足下列各条件的椭圆的标准方程。(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；(2)过点(，-)，且与椭圆有相同焦点。19.（本小题满分12分） 如图，四棱锥中，侧面PAB为等
5、边三角形且垂直于底面ABCD，, E是PD的中点(1)证明：直线平面；(2)求二面角的余弦值20(本小题满分12分)新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献生产口罩的固定成本为300万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足90万箱时，；当产量不小于90万箱时，若每箱口罩售价120元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完（1）求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？21(本小题满分12分)如图，三棱柱中，侧面，已知，点是棱的中点.（1）求证：平面；（2）在棱上是否存在一点，
6、使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由22.(本小题满分12分)已知抛物线C：y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线C于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2。(1)求抛物线C的方程；(2)若点P(4，0)，问x轴上是否存在点T，使得过点T的任一条直线与抛物线C交于点M，N两点，且点T到直线MP，NP的距离相等？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由。20202021学年度上期高中调研考试二年级理数答案一选择题：1【答案】D【详解】因为命题:，所以，故选：D【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题.2【答案】D【详解】选项A: ，符合
7、，但不等式不成立，故本选项是错误的；选项B:当符合已知条件，但零没有倒数，故不成立 ，故本选项是错误的；选项C:当时，不成立，故本选项是错误的；选项D:因为，所以根据不等式的性质，由能推出，故本选项是正确的，因此本题选D.3 【答案】B【详解】设此等差数列为，公差，由题意可得：， 4【答案】D【解析】当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.考点：等比数列5【答案】D【详解】由椭圆定义得2a=10，a=5，又c=4，方程为6【答案】D【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选D.点睛：利用法
8、向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.7【答案】C【解析】由双曲线定义得，由双曲线性质知，,故选选C考点：双曲线的标准方程和定义故选C8【答案】B【解析】：若“且”为假命题，则中至少有一个假命题，故错误；：若只有一个零点,则当时,只有一个零点,或当时即,故只有一个零点,有或,故不正确;若是的必要条件，则q是p的充分条件，因为若,所以若是的必要条件，则是的充分条件；故正确；：充分性：中，若，则ab，根据正弦定理，可得到 ，反之也成立，故项正确
9、.故选B.9【答案】B数形结合利用垂直平分线的定义得到动点到定点、的距离之和为定值4（大于两定点间的距离，符合椭圆定义，从而得到椭圆方程【详解】解：如图，直线为线段的垂直平分线，连接，由线段垂直平分线的性质得：，而半径，且、两点为定点，由椭圆定义得：点轨迹是以、两点为焦点的椭圆，且，椭圆方程为：，故选：B【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆方程的求法，考查了直线的垂直平分线的性质，是中档题，也是轨迹方程的常见题型10【答案】D【详解】因为，所以.故选D【点睛】本题主要考查导数的概念，熟记导数的概念即可，属于常考题型.11【答案】C【解析】分析：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，
10、EN详解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN对于（1），由正四棱锥SABCD，可得SO底面ABCD，ACBD，SOACSOBD=O，AC平面SBD，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，EMBD，MNSD，而EMMN=N，平面EMN平面SBD，AC平面EMN，ACEP故正确对于（2），由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EPBD，因此不正确；对于（3），由（1）同理可得：EM平面SAC，若EP平面SAC，则EPEM，与EPEM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直即不正确对于（4），由（1）可知：平面EMN平面SBD，EP平面SBD，因此正确故
11、选：C点睛：本题考查了空间线面、面面的位置关系判定，属于中档题对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断.还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.12【答案】C【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为，是以为底边的等腰三角形，若，则，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，即有，根据三角形三边关系可得，即，所以，根据离心率公式可得，因为，所以，则有，所以的取值范围为.故选：C【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，考查离心率的求法，三角形的三边关系二填空题13【答案】【详解】抛物线方程可化为： 抛物线准线方程为：故答案为14【答案】【解析】设A，B，
12、则，M是线段AB的中点，两式相减可得，即考点：椭圆的简单性质15【答案】【详解】由得，解得，设由得，解得，设 是的必要不充分条件，是的必要不充分条件，即，解得. 实数的取值范围为16【答案】 【详解】过点作，垂足为，延长，使得（如图）.由题意可得，则 由题意知，所以，所以.因为 平面，所以，又，所以 平面 ，则 是直线 与平面 所成角的平面角， ，所以故答案为： 【点睛】本题以数学文化为载体，考查了线面角及线面垂直的证明，考查了转化与化归思想及推理论证能力，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【解析】（1）椭圆的焦点在轴上， 2分又直线与椭圆无公共点，由得，由，得或，结合，
13、可得，即命题是真命题，实数的取值范围为 5分（2） 方程表示双曲线，解得或， 8分又是的充分不必要条件，是的真子集，即或，解得或，所以实数的取值范围或. 10分18【解析】(1)若椭圆焦点在x轴上，设所求椭圆的标准方程为(ab0)长轴是短轴的3倍a=3b又椭圆经过点A(3，0)，得到a=3b=1，所以 2分 若椭圆焦点在y轴上，设所求椭圆的标准方程为(ab0)长轴是短轴的3倍，a=3b又椭圆经过点A(3，0)，得到b=3，a=9 5分所以椭圆的标准方程为。或. 6分(2）椭圆的焦点为(0，4)设该椭圆方程为(ab0)，因此 8分椭圆过(，-)，(ab0) 10分联立式，解得a2=20，b2=4
14、.因此该椭圆方程为. 12分19.解：(1)取的中点，连，是的中点, ， 2分又 四边形是平行四边形4分又平面，平面5分平面 6分 (2)在平面内作于，不妨令，则由是等边三角形，则，为的中点，分别以、所在的直线为轴和轴，以底面内的中垂线为轴建立空间直角坐标系， 7分则，8分设平面的法向量为，平面的法向量为，则 则9分 则10分11分经检验，二面角的余弦值的大小为. 12分20【解析】（1）当时，； 2分当时， 4分， 6分（2）当时，当时，取最大值，最大值为1500万元； 18分当时，当且仅当，即时，取得最大值，最大值为1750万元 11分综上，当产量为100万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利
15、润最大，最大利润为1750万元 12分21.（1）由题意，因为，又，侧面，.又，平面直线平面. 5分（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有，6分设平面的一个法向量为，令，则，8分假设存在点，设，设平面的一个法向量为， 10分，得.即，或，或. 12分22、【解析】（1）设，,则,，因为线段的中点的纵坐标为2，则，两式相减得，所以，即抛物线的方程为 4分（2）假设存在这样的点满足条件，设为，因为点到直线、的距离相等，所以为的角平分线，则，可得， 5分显然直线的斜率不能为零，故设直线的方程为，设，,由联立得，则有， 7分得，即，化简整理得， 10分即，得，即对于任意的恒成立，所以，且此时满足，所以在轴上存在使得点到直线、的距离相等.12分