1、章末复习课 整合网络构建警示易错提醒1求曲线与方程的两个关注点(1)求曲线的方程与求轨迹是有区别的若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处等，即图形的形状、位置、大小都要加以说明、讨论等(2)由方程研究曲线时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件和限制条件，避免因考虑不全面而致误2处理与三种圆锥曲线的方程和性质有关的问题的注意点(1)求圆锥曲线的标准方程时，要先定位，再定量；当焦点位置不能确定时，需分类讨论或者用椭圆双曲线的一般方程形式解决(2)在椭圆中，a，b，c的关系是c2a2b2，而在双曲线中，a，b，c的关系是c2a2b2，两者极易混淆，
2、要注意区分，以防出错(3)在解与圆锥曲线上点有关的最值问题时，一定不能忽略圆锥曲线的范围3直线与圆锥曲线的位置关系问题的关注点(1)在解析几何中，凡是直线与圆锥曲线相交问题先考虑相交的前提，否则易产生错解(2)直线与双曲线抛物线相交时，有一个交点或两个交点之分；直线与双曲线抛物线有一个公共点时，有相交或相切之分；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交有一个公共点；当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交，有一个公共点 圆锥曲线定义的应用对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略，如：(1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问
3、题时，常用定义结合解三角形的知识来解决(2)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离与到准线的距离进行转化，结合几何图形，利用几何意义去解决总之，圆锥曲线的定义在解题中有重要作用，要注意灵活运用典例已知F1(1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x的直线与椭圆C交于A、B两点，且|AB|3，则C的方程为_解析：设椭圆方程为1(ab0)由题可得A，B，因|AB|3，即2b23a，所以解得所以C的方程为1.答案：1变式训练若点M(2，1)，点C是椭圆1的右焦点，点A是椭圆上的动点，求|AM|AC|的最小值解：设点B为椭圆的左焦点，则B(3，0)，点M(2，1)在椭圆
4、内，那么|BM|AM|AC|AB|AC|2a，所以|AM|AC|2a|BM|，而a4，|BM|，所以(|AM|AC|)min8. 圆锥曲线的性质1椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a，b，c，e之间的关系等2求离心率的值或取值范围的主要方法有：(1)定义法：利用a，b，c之间的关系以及e，知道a，b，c中任意两个可求e.(2)方程法：建立a与c的齐次关系式，可求离心率e.(3)几何法：求与焦点三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系通过画出图形，观察线
5、段之间的关系，使问题更形象、直观典例已知椭圆1(ab0)的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P，使得F1PF2，求椭圆离心率e的范围解：F1PF2中，F1PF2，由椭圆定义及余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|，即4c24a23|PF1|PF2|.故4a24c23|PF1|PF2|33a2，由此可得离心率e.所以所求椭圆离心率e的范围为.变式训练双曲线1(a0，b0)的两条渐近线互相垂直，求该双曲线的离心率解：双曲线1的两条渐近线方程为yx，依题意有1，故1，所以1，即e22，所以双曲线的离心率e. 求
6、动点的轨迹方程问题求动点的轨迹方程问题主要有以下三种常用的、简单的方法：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程典例(2)已知两定点F1(1，0)， F2(1，0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等
7、差中项，求动点P的轨迹方程解：由已知得，2|F1F2|PF1|PF2|4|F1F2|2，则点P在以F1，F2为焦点且长轴长为4的椭圆上，设其轨迹方程为1(ab0)，易知2a4，c1，则b2a2c23.故点P的轨迹方程为1.变式训练若动圆P过点N(2，0)，且与另一圆M：(x2)2y28相外切，求动圆P的圆心的轨迹方程解：设P(x，y)，因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径又因为动圆P与圆M外切，所以|PM|PN|2，即|PM|PN|2，故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2，焦距|MN|为4的双曲线的左支，即a，c2，故b，从而动圆P的圆心的轨迹方程为1(x). 直线与圆锥曲线的位置关
8、系1直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的热点，内容涉及直线与圆锥曲线的公共点的个数、弦长、焦点弦、中点弦、取值范围、最值等问题，题型主要以解答题的形式出现，这类问题综合性较强，注重与一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识相综合，突出考查函数与方程、数形结合、化归、分类讨论等数学思想方法的应用，要求学生具有较强的分析问题、解决问题的能力及计算能力2解题时要注意掌握一些基本的解题规律和技巧，如在研究直线与圆锥曲线的公共点个数问题时，不要仅由判别式来进行判断，还要注意二次项系数是否为0；涉及弦长问题时，利用弦长公式及根与系数的关系求解，而对于焦点弦问题，则结合
9、圆锥曲线的定义求解；解决有关中点弦问题时常常运用“点差法”使运算过程得以简化典例已知椭圆G：1(ab0)的离心率为，右焦点为(2，0)斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3，2)(1)求椭圆G的方程； (2)求PAB的面积解：(1)由已知得，c2，又，所以a2.又b2a2c24得椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm，由得4x26mx3m2120.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0，y0x0m，因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB.所以PE的斜率k1，解得m2，此时方程为4x21
10、2x0.解得x13，x20. 所以y11，y22.所以|AB|3.此时，点P(3，2)到直线AB：xy20的距离d，所以PAB的面积S|AB|d.变式训练已知直线ly(a1)x1与曲线Cy2ax恰有一个公共点，求实数a的值解：联立方程(1)当a0时，此方程组恰有一组解(2)当a0时，消去x，得y2y10.若0，即a1，方程变为一元一次方程y10.方程组恰有一组解若0，即a1，令0，得10，可解得a，这时直线与曲线相切，只有一个公共点综上所述，当a0，1，时，直线与曲线y2ax只有一个公共点.圆锥曲线中的定点、定值和最值问题1圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长轴
11、、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，解决此类问题的主要方法是通过研究直线与曲线的位置关系，把所给问题进行化简，通过计算获得答案；或是从特殊位置出发，确定定值，然后给出一般情况的证明2圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化、代换等途径来解决典例如图所示，椭圆C：1(ab0)，A1、A2为椭圆C的左、右顶点设F1为椭圆C的左焦点，证明：当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时，|PF1|取得最小值与最大值证明
12、：设点P的坐标为(x，y)，令f(x)|PF1|2(xc)2y2.又点P在椭圆C上，故满足1，则y2b2x2.代入f(x)得，f(x)(xc)2b2x2x22cxa2，则其对称轴方程为x，由题意，知a恒成立，所以f(x)在区间a，a上单调递增所以当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时，|PF1|取得最小值与最大值变式训练已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x24y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，)在该椭圆上(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，当ABC面积为最大值时，求直线l的方程解：(1)由题意知抛物线的焦点为(0，)，故设椭圆方程为1.将点A(1，)代入方程，得1，整理得a45a240，解得a24或a21(舍去)，故所求椭圆方程为1.(2)设直线BC的方程为yxm，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，代入椭圆方程得4x22mxm240，由8m216(m24)8(8m2)0，可得m28.(*)又x1x2m，x1x2，故|BC|x1x2|.又点A到BC的距离为d.故SABC|BC|d，当且仅当2m2162m2，即m2时取等号(满足(*)式)，S取得最大值，此时所求直线l的方程为yx2.
