1、专题2 复数与推理真题再研析提升审题力考向一 复数的运算与几何意义【典例】(2020全国卷)若z=1+2i+i3,则|z|=()A.0B.1C.D.2C 因为z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,所以|z|=考向二 推理【典例】(2019全国卷)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为()A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙A 若甲正确,则乙,丙都不正确,即由此判断乙丙,即甲乙丙成立.【考前必备】1.复数的几
2、何意义复数z=a+bi一一对应复平面内的点Z(a,b),一一对应平面向量.2.复数代数运算中常用的结论(1)(1i)2=2i,=i,=-i;(2)-b+ai=i(a+bi);(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,nN.3.推理的一般步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质.(2)一个题中含有多个结论,假定某一个结论为真,推理其他结论的真假,全为真则假定成立,若存在结论为假,则再假定另一个结论为真,继续推理.【考场秘技】1.关于复数几何意义的三点说明(1)模的长度为复数对应的点到原点的距离;(2)共轭复数关于实轴
3、对称;(3)实轴上的点,虚部为零;虚轴上的点,实部为零.2.z1z2为实数,则z1为z2的共轭复数的倍数.3.推理常见的情形平面与空间的类比推理;等差数列,等比数列的类比推理;结论真假的推理;新定义公式的推理【命题陷阱】1.容易错误的将复数的虚部看成bi【案例】T3复数的虚部为-1,不为-i.2.复数计算过程中忽略共轭复数【案例】T5易忽略条件中的等式中为z的共轭复数,而不是z.3.推理过程中不能总结出相应规律【案例】T8第n组规律为,横坐标从0增加到n,纵坐标从n递减到0.1.已知=1-yi,其中x,y是实数,i是虚数单位,则x+yi的共轭复数为()A.2+iB.2-iC.1+2iD.1-2
4、iB 由=1-yi,得=1-yi,即=1-yi,所以解得所以x+yi=2+i,其共轭复数为2-i.高考演兵场检验考试力2.若iz=-1+i,则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限A 由iz=-1+i,得所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,1),位于第一象限.3.已知复数z=(i为虚数单位),则复数z的虚部是()A.1B.-1C.iD.-iB 因为z=-1-i,所以复数z的虚部是-1.4.已知i为虚数单位,复数z满足(1-i)(z+i)=1,则z=()A.-iB.+iC.1-iD.1+iA 因为(1-i)(z+i)=1,所以5.设表示复数z的共轭
5、复数,若复数z满足(2-i)=|3+4i|,则z=()A.2+iB.-2-iC.2-iD.-2+iC 因为(2-i)=|3+4i|,所以=2+i,因此,z=2-i.6.数学老师给出一个定义在R上的函数f(x),甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质:甲:在(-,0上函数单调递减;乙:在0,+)上函数单调递增;丙:函数f(x)的图象关于直线x=1对称;丁:f(0)不是函数的最小值.老师说:你们四个同学中恰好有三个人说的正确,则说法错误的同学是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁B 先假设甲、乙正确,由此判断出丙、丁错误,与已知矛盾,由此判断甲、乙两人有一人说法错误,丙、丁正确.而乙、丙说
6、法矛盾,由此确定乙说法错误.7.甲、乙、丙、丁四人商量是否参加志愿者服务活动.甲说:“乙去我就肯定去.”乙说:“丙去我就不去.”丙说:“无论丁去不去,我都去.”丁说:“甲、乙中只要有一人去,我就去.”则以下推论可能正确的是()A.乙、丙两个人去了 B.甲一个人去了C.甲、丙、丁三个人去了D.四个人都去了C 因为丙说:“无论丁去不去,我都去.”所以丙一定去.因为乙说:“丙去我就不去.”所以乙一定没去,故选项A,D错误;因为丁说:“甲、乙中只要有一人去,我就去.”所以甲、丁一定都去,故甲、丙、丁三个人去了,C正确.8.将自然数按如下规律排数对:(0,1),(1,0),(0,2),(1,1),(2,
7、0),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),则第60个数对是()A.(6,4)B.(5,5)C.(4,6)D.(3,7)B 通过观察可以发现:两数和为1的数对有2个,两数和为2的数对有3个,两数和为3的数对有4个以此类推,两数和为n的数对有n+1个,因为2+3+10=54,则第55到65个数对的两数之和为10,第55到60个数对依次为:(0,10),(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5)即第60个数对为(5,5).9.将正奇数数列1,3,5,7,9,依次按两项、三项分组,得到分组序列如下:(1,3),(5
8、,7,9),(11,13),(15,17,19),称(1,3)为第1组,(5,7,9)为第2组,依次类推,则原数列中的2 021位于分组序列中的()A.第404组B.第405组C.第808组D.第809组B 正奇数数列1,3,5,7,9,的通项公式为an=2n-1,则2 021为第1 011个奇数,因为按两项、三项分组,故按5个一组分组当有202组时,共2025=1 010个数,共2022=404组.故原数列中的2 021位于分组序列中的第405组,故选B.10.聊斋志异中有:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术”.在数学中,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:则按照以上规律,若具有“穿墙术”,则m,n满足的关系式为()A.n=2m-1B.n=2(m-1)C.n=(m-1)2D.n=m2-1D 由题意可知则可归纳:所以n=m2-1.
