1、福建省福州市福清西山学校高中部2020-2021学年高二数学12月月考试题一、 单选题（每题只有一个答案，每题5分，一共8题，共40分）1.设，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知命题A. B. C. D. 3.椭圆的焦点坐标为（ ）ABCD4.准线方程为的抛物线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 5抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）ABCD6设分别是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,线段的中点在轴上,若,则椭圆的离心率为（ ）ABCD7.已知平行六面体中，则的长为（ ）ABCD8已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是
2、直线与的一个交点，若，则（ ）ABCD二、 多选题（每题5分，一共4题，共20分。每题有多个选项符合要求，全对5分，部分选对得3分，有选错的0分。）9. 若是空间任意三个向量，下列关系中，不成立的是（ ）ABCD10.已知平面上一点，若直线上存在点，使，则称该直线为“点M相关直线”，下列直线中是“点M相关直线”的是（ ）ABCD11已知抛物线上一点P到准线的距离为d1，到直线的距离为d2，则d1+d2的取值可以为（ ）A3B4CD12.已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（ ）A. 的方程为B. 的离心率为C. 曲线经过的一个焦点D. 直线与有两个公共点三、填空题（每题5分，一共4题，
3、共20分。）13.过点的等轴双曲线的标准方程为_14.若中，则的值=_15已知，是椭圆的左、右焦点，点在上，线段与轴交于点，为坐标原点，若为的中位线，且，则_.16分别为椭圆的左、右焦点，P是C上的任意一点，则的最大值为_，若，则的最小值为_四、解答题（17题10分，其他每题12分，一共6题，共70分。解答题要写出文字说明、证明过程或演算步骤）17经过两点 一条渐近线方程是，且经过点 与椭圆同焦点，且经过点在以上三个条件中任选一个，补充下面的问题并做答。已知双曲线的标准方程满足 ，求该双曲线方程和离心率。注：如果多个条件解答，按照第一个解答计分18.过抛物线的焦点F的直线交地物线于点AB（其中
4、点A在第一象限），交其准线l于点C，同时点F是AC的中点（1）求直线AB的倾斜角； （2）求线段AB的长19已知椭圆的焦点为和，长轴长为，设直线交椭圆于两点（1）求椭圆的标准方程； （2）求弦的中点坐标及20已知抛物线,抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为.（1）求抛物线的方程及其准线方程;（2）过的直线交抛物线于不同的两点,交直线于点,直线交直线于点. 是否存在这样的直线,使得? 若不存在,请说明理由;若存在,求出直线的方程.21.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是棱AC的中点,且AB=BC=BB1=2.(1)求证:;(2)求异面直线AB1与BC1所成的角.22已
5、知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线与椭圆C交于M，N两点，且MNF2的周长为8（1）求椭圆C的方程；（2）直线m过点（-1，0），且与椭圆C交于P，Q两点，求PQF2面积的最大值福清西山学校高中部2020-2021学年第一学期12月份月考高二数学试卷答案一、单选题（每题只有一个答案，每题5分，一共8题，共40分）ADCBD DAA二、多选题（每题5分，一共4题，共20分。每题有多个选项符合要求，全对5分，部分选对得3分，有选错的0分。）9.ABD 10.BC 11.ABD 12.AC三、填空题（每题5分，一共4题，共20分。） 13. 14. 15. 6 16. 9 4四
6、、解答题（17题10分，其他每题12分，一共6题，共70分。解答题要写出文字说明、证明过程或演算步骤）17解：双曲线的标准方程 .6分 ，则.8分.10分18.解：（1）由题可知，准线l的方程为，.1分设A，B在准线上的投影分别为，准线与轴交于点，则，因为F是AC的中点，所以,所以点A的横坐标为3，当时，由于点A在第一象限，所以点A的坐标为，设直线AB的倾斜角为，则，.5分因为，所以，.6分（2）直线AB的方程为，由，得，.9分解得，所以点B的横坐标为，所以.12分方法二：也可以用直线方程与抛物线方程联立求解19.（1）依题意，椭圆的焦点在轴上，设其方程为.2分 易知又， .4分故椭圆的标准方
7、程为.6分（2）设，且的中点为，由消去，得.8分故，.9分则，所以弦的中点的坐标为.12分20.（1）因为横坐标为的点到焦点的距离为,所以,解得, .2分所以 .3分所以准线方程为. .4分（2）显然直线的斜率存在,设直线的方程为,.联立得 消去得. .6分由,解得. 所以且.由韦达定理得,.8分方法一:直线的方程为,又,所以,所以, .9分因为,所以直线与直线的斜率相等又,所以. .10分整理得,即,化简得,即. 所以,整理得,解得. 经检验,符合题意.11分所以存在这样的直线,直线的方程为或 .12分方法二:因为,所以,所以.整理得,即, 整理得.解得,经检验,符合题意.所以存在这样的直线
8、,直线的方程为或.21.(1)证明如图,连接B1C交BC1于点O,连接OD.因为O为B1C的中点,D为AC的中点,所以ODAB1.因为AB1平面BC1D,OD平面BC1D,所以AB1平面BC1D.5分也可以用向量法证明,第一问用向量法就变成7分(2)解建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,则B(0,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,2),B1(0,0,2),因此=(0,-2,2),=(2,0,2).所以cos=,设异面直线AB1与BC1所成的角为,则cos =,由于, 故=.12分22（1）由题意知，4a=8，则a=2，由椭圆离心率，则c=1，b2=3，则椭圆C的方程.5分（2）由题意知直线m的斜率不为0，设直线m的方程为x=y-1，则，.7分所以.9分令，则t1，所以，.10分而在上单调递增，则的最小值为4，.11分所以，当t=1时取等号，即当k=0时，PQF2的面积最大值为3.12分
