1、核心素养测评 二十五平面向量的线性运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(多选)下列说法错误的是()A.方向相同或相反的向量是平行向量B.零向量是0C.长度相等的向量叫做相等向量D.共线向量是在一条直线上的向量【解析】选ACD.对于选项A,因为方向相同或相反的非零向量是平行向量,所以该说法错误;对于选项B,因为零向量就是0,所以该说法正确;对于选项C,方向相同且长度相等的向量叫相等向量,所以该说法错误;对于选项D,共线向量所在直线可能重合,也可能平行,所以该说法错误.2.在ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则=()A.+B.+C.+ D.+【解析】选D.如
2、图,因为=,又因为=+,所以=+.【变式备选】如图,向量a-b等于()A.-4e1-2e2B.-2e1-4e2C.e1-3e2D.3e1-e2【解析】选C.由题图可知a-b=e1-3e2.3.(2019石家庄模拟)在ABC中,点D在边AB上,且=,设=a,=b,则=()A.a+b B.a+bC.a+b D.a+b【解析】选B.因为=,所以=,所以=+=+= +(-)=+=a+b.4.(2019唐山模拟)在等腰梯形ABCD中,=-2,M为BC的中点,则=()A.+B.+C.+D.+【解析】选B.因为=-2,所以=2.又M是BC的中点,所以=(+)=(+)=+.5.(2020黄山模拟)已知向量a,
3、b是两个不共线的向量,若向量m=4a+b与n=a-b共线,则实数的值为()A.-4B.-C.D.4【解析】选B.由已知得m=kn,即4a+b=k(a-b).所以解得6.矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若=+(,为实数),则2+2=()A.B.C.1D.【解析】选A.=+=+=+(+)=-,所以=,=-,所以2+2=.7.(2019济南模拟)已知向量a,b不共线,且c=a+b,d=a+(2-1)b,若c与d共线反向,则实数的值为()A.1B.-C.D.-2【解析】选B.由于c与d共线反向,则存在实数k使c=kd(k0),于是a+b=ka+(2-1)b,整理得a+b=ka+(2k-
4、k)b.因为a,b不共线,所以整理得22-1=0,解得=1或=-,又k0,所以0,所以=-.二、填空题(每小题5分,共15分)8.如图,在ABC中,D为边BC上靠近B点的三等分点,连接AD, E为线段AD的中点,若=m+n,则m=_,n=_.【解析】=-=(-)-=+,又=m+n,所以m=,n=-.答案:-9.在平行四边形ABCD中,=e1,=e2,=,=,则=_.(用e1,e2表示)世纪金榜导学号【解析】如图所示,=-=+2=+=-+(-)=-e2+(e2-e1)=-e1+e2.答案:-e1+e210.直线l上有不同的三点A,B,C,O是直线l外一点,对于向量=(1-cos )+ sin (
5、是锐角)总成立,则=_.世纪金榜导学号【解析】因为直线l上有不同的三点A,B,C,所以存在实数,使得=,所以-=(-),即=+,所以所以sin =cos ,因为是锐角,所以=45.答案:45(15分钟35分)1.(5分)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB,AD分别交于点E,F,且交其对角线AC于点M,若=2,=3,=-(,R),则-=()A.-B.1C.D.-3【解析】选A.=-=-(+)=(-)-=2(-)-3,因为E,M,F三点共线,所以2(-)+(-3)=1,即2-5=1,所以-=-. 2.(5分)(2020朔州模拟)在ABC中,+=2,+=0,若=x+y,则()A.y=3xB.x
6、=3yC.y=-3xD.x=-3y【解析】选D.因为+=2,所以点D是BC的中点,又因为+=0,所以点E是AD的中点,所以有:=+=-+=-+(+)=-+,因此x=-,y=x=-3y.3.(5分)(2020合肥模拟)设D,E,F分别为ABC三边BC,CA,AB的中点,则+2+3=世纪金榜导学号()A.B.C.D.【解析】选D.因为D,E,F分别为ABC三边BC,CA,AB的中点,所以+2+3=(+)+2(+)+3(+)=+=+=+=.4.(10分)如图,在ABC中,D为BC的四等分点,且靠近B点,E,F分别为AC,AD的三等分点,且分别靠近A,D两点,设=a,=b.(1)试用a,b表示,.(2
7、)证明:B,E,F三点共线.世纪金榜导学号【解析】(1)在ABC中,因为=a,=b,所以=-=b-a,=+=+ =a+(b-a)=a+ b,=+=-+=-a+b.(2)因为=-a+b,=+=-+=-a+=-a+b=(-a+b),所以=,与共线,且有公共点B,所以B,E,F三点共线.5.(10分)经过OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设=m,=n,m,nR+,求m+n的最小值.世纪金榜导学号【解析】设=a,=b,由题意知=(+)=(a+b),=-=nb-ma,=-=a+b,由P,G,Q三点共线得,存在实数,使得=,即nb-ma=a+b,从而消去得+=3.于是m+n=(m+n)=(2+2)=.当且仅当m=n=时,m+n取得最小值.