1、2.2二项分布及其应用2.2.1条件概率学 习 目 标核 心 素 养1了解条件概率的概念2掌握求条件概率的两种方法(难点)3能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题(重点)1通过条件概率的学习，体会数学抽象的素养2借助条件概率公式解题，提升数学运算素养.1条件概率的概念一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率2条件概率的性质(1)0P(B|A)1；(2)如果B与C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)1若P(AB)，P(A)，则P(B|A)()A.B.C. D.B由公式得P(
2、B|A).2下面几种概率是条件概率的是()A甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率B甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率C有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学中遇到红灯的概率B由条件概率的定义知B为条件概率3设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是_0.5根据条件概率公式知P0.5.利用定义求条件概率【例1】一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放
3、回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B.(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；(2)求P(B|A)解由古典概型的概率公式可知(1)P(A)，P(B)，P(AB).(2)P(B|A).1用定义法求条件概率P(B|A)的步骤(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(AB)；(3)代入公式求P(B|A).2在(2)题中，首先结合古典概型分别求出了事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系1.如图，EFGH是以O为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFG
4、H内”，B表示事件“豆子落在扇形HOE(阴影部分)内”，则P(A)_，P(B|A)_.因为圆的半径为1，所以圆的面积Sr2，正方形EFGH的面积为2，所以P(A).P(B|A)表示事件“已知豆子落在正方形EFGH中，则豆子落在扇形HOE(阴影部分)”的概率，所以P(B|A).缩小基本事件范围求条件概率【例2】集合A1,2,3,4,5,6，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率解将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)
5、，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个，在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P.1(变结论)在本例条件不变的前提下，求乙抽到偶数的概率解在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P.2(变条件)若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两
6、数之和等于7”，求P(B|A)解甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2个所以P(B|A).利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法将原来的基本事件全体缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的求互斥事件
7、的条件概率探究问题先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？提示设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C，则所求事件为BC|A.P(BC|A)P(B|A)P(C|A).【例3】在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率解法一：(定义法)设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第三个球为黑球”为事件C.则P(A)，P(AB)，P(AC).所以P(B|A)，P(C|A).所以P
8、(BC|A)P(B|A)P(C|A).所以所求的条件概率为.法二：(直接法)因为n(A)1C9，n(BC|A)CC5，所以P(BC|A).所以所求的条件概率为.1利用公式P(BC|A)P(B|A)P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”2为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率2在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中的5道题就获得优秀已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率解设
9、事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中的5道题而另1道题答错”，事件C为“该考生答对了其中的4道题而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且DABC，EAB，由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)，P(E|D)P(AB|D)P(A|D)P(B|D)，即所求概率为.对条件概率计算公式的两点说明(1)如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)P(B|A)；(2)已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空
10、间计算AB发生的概率，即P(B|A).1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若事件A与B互斥，则P(B|A)0.()(2)若事件A等于事件B，则P(B|A)1.()(3)P(B|A)与P(A|B)相同()答案(1)(2)(3)24张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是()A.B.C.D1B因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是.3把一枚硬币投掷两次，事件A第一次出现正面，B第二次出现正面，则P(B|A)_.P(AB)，P(A)，P(B|A).4盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？解法一(定义法)由题意得球的分布如下：玻璃球木质球总计红235蓝4711总计61016设A取得蓝球，B取得玻璃球，则P(A)，P(AB).P(B|A).法二(直接法)n(A)11，n(AB)4，P(B|A).