1、第2课时等比数列的性质及应用知识点一等比中项 填一填如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，G2ab，G.我们称G为a，b的等比中项答一答1相对于等差中项而言，等比中项有怎样的特点？提示：(1)只有同号的两个数才有等比中项(2)等比中项有两个，它们互为相反数知识点二等比数列的性质 填一填(1)anamqnm(m，nN)(2)若mnpq(m，n，p，qN)，则amanapaq.(3)数列an(为不等于0的常数)仍是公比为q的等比数列；若bn是公比为q的等比数列，则数列anbn是公比为qq的等比数列；数列是公比为的等比数列；数列|an|是公比为|q|的等比数列
2、(4)在数列an中每隔k(kN)项取出一项，按原来的顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk1.(5)数列an是各项均为正数的等比数列时，数列lgan是公差为lgq的等差数列(6)当m，n，p(m，n，pN)成等差数列时，am，an，ap成等比数列(7)等比数列中的任意一项均不为0，即an0.答一答2等比数列与指数函数的关系提示：(1)等比数列的通项公式ana1qn1，可以整理为an()qn.当q0且q1时，y()qx是一个不为0的常数与指数函数的积，因此，数列an即qn中的各项所表示的点(n，kqn)(k)离散地分布在函数ykqx(xR)的图像上，所以可以借助指数函数yqx(q0，且
3、q1)的性质来研究等比数列的性质(2)等比数列具有的单调性：1根据等比数列的定义可知，在等比数列中的公比q0，任意一项都不为零当q1时，这个等比数列为常数列2判定一个数列是等比数列的方法(1)定义法：利用定义式q.(2)等比中项法：利用aanan2.(3)通项公式法：利用ana1qn1(或cqn).类型一等比中项的运用 【例1】已知等比数列的前三项和为168，a2a542，求a5，a7的等比中项【思路探究】根据已知条件，可得到关于首项a1和公比q的方程组，求出a1和q的值后问题可解【解】设该等比数列的公比为q，首项为a1.由已知条件，得即，得q(1q)，解得q.a196.设G是a5，a7的等比
4、中项，则有G2a5a7a1q4a1q6aq10962109.故a5，a7的等比中项是3.规律方法 本题要注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，不要漏解(1)已知数列an是等比数列，且a34，a716，则a5(B)A8B8C64D8(2)若x是1,3的等差中项，y是1,4的等比中项，则xy4或0.解析：(1)由a3a7a，得a64，则a58.因为a3，a5，a7同号，所以a58.(2)根据等差中项和等比中项的概念，可得x2，y2，则xy4或0.类型二等比数列的通项公式的求法及应用 【例2】设二次方程anx2an1x10(n1,2,3，)有两根，且满足6263.(1)试用an表示an1
5、；(2)当a1时，求数列an的通项公式【思路探究】(1)用an表示an1，即推导出数列的递推关系，由根与系数的关系可以将递推关系式找出来；(2)由(1)知an与an1的关系是形如an1cand的形式，可以通过构造等比数列求出an.【解】(1)由根与系数的关系，得又由6263，即6()23，得3，an1an.(2)方法一：将an1an，anan1两式相减，得an1an(anan1)，即数列an1an是首项为a2a1a1a1，公比为的等比数列，an1ann1，anann1，ann.方法二：设an1m(anm)，其中m是待定系数，an1anm.与an1an比较，得m，m，an1.又a1，数列 是首项
6、为，公比为的等比数列，ann1，即ann.规律方法 数列an满足递推关系式求an的方法很多，其中主要方法有两种：一是阶差法，二是待定系数法已知数列an满足a11，an13an2.证明数列an1是等比数列，并求数列an的通项公式解：由已知得，an11(3an2)13(an1)因为a1120，所以3.故数列an1是以2为首项，3为公比的等比数列由等比数列的通项公式得an123n1，故an23n11.类型三等比数列的基本性质 【例3】已知数列an为等比数列，且an0，a2a42a3a5a4a625，那么a3a5的值等于()A5B10C15 D20【思路探究】本题可利用等比数列的性质解决，也可以通过整
7、体代换的方法解决【解析】解法一：设此等比数列的公比为q，由an0，得q0.由条件得a1qa1q32a1q2a1q4a1q3a1q525，即aq4(q21)225.a1q2(q21)5.a3a5a1q2a1q4a1q2(q21)5.解法二：a2a42a3a5a4a625，由等比数列的性质得a2a3a5a25，即(a3a5)225.又an0，a3a55.【答案】A规律方法 要确定一个等比数列，必须有两个独立条件，而这里只有一个条件，故用先确定基本量a1和q，再求a3a5的方法是不行的，而应寻求a3a5整体与已知条件之间的关系在运用方程思想方法的过程中，还要注意整体思想，善于利用等比数列的性质，以达
8、到简化解题过程、快速求解的目的已知等比数列an中，a4a7512，a11，则q2.解析：a4a7a1a10512，a11，a10512，q2.类型四等比数列的实际应用题 【例4】从盛满20 L纯酒精的容器里倒出1 L，然后用水填满，再倒出1 L混合溶液，再用水填满，这样继续进行(1)倒第2次后容器里还剩有纯酒精多少升？你能发现各次剩余纯酒精数构成什么数列吗？(2)倒第5次后容器里还剩有纯酒精多少升(精确到小数点后两位)?【思路探究】从初始值入手，观察数字的特点，联想等比数列，归纳规律得解【解】(1)倒第1次后，剩下的酒精是19 L，用水填满后，混合溶液浓度为100%，故第2次倒出的1 L混合溶
9、液中含纯酒精1(L)，此时容器里还剩有纯酒精191918.05(L)每次倒完后剩下的纯酒精为原来的，即每次倒完后剩下的纯酒精是以a119为首项，公比q的等比数列(2)利用计算器计算得倒第5次后还剩有纯酒精a5a1q419415.48(L)规律方法 此类问题的解法是通过分析题意，明确已知的是数列的什么量，要求的是什么量，并用数列的相关量表示出来，再利用数列的通项公式建立方程或不等式求解据中国青年报2004年11月9日报导，卫生部艾滋病防治专家徐天民指出：目前我国艾滋病的流行趋势处于世界第14位，在亚洲第2位，而且艾滋病毒感染者每年以40%的速度在递增，我国已经处于艾滋病暴发流行的前沿，我国政府正
10、在采取有效措施，防止艾滋病蔓延，公元2004年我国艾滋病感染者至少有80万人，若不采取任何防治措施，则至少到公元2012年后，我国艾滋病毒感染者将超过1 000万人(已知lg 20.301 0，lg30.477 1，lg70.845 1)解析：设x年后我国艾滋病毒感染者人数将达到1 000万人，则80(140%)x1 000，即x，lgxlg，x7.51(年)故8年后，即公元2012年后，我国艾滋病毒感染者人数将超过1 000万人多维探究系列等比数列性质的应用等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“
11、幂”相类比关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式anf(n)的下标n的大小关系，可简化题目的运算【例5】在由正数组成的等比数列an中，若a3a4a53，则sin(log3a1log3a2log3a7)的值为()A.B.C1 D【规范解答】B已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10(D)A7 B5C5 D7解析：解法一：由题意得解得或故a1a10a1(1q9)7.解法二：由解得或则或故a1a10a1(1q9)7.一、选择题1已知等比数列an中，a2 011a2 0131，则a2 012等于(C
12、)A1B1C1 D以上都不对解析：由a2 011a2 0131知，等比数列an的公比q1，当q1时，a2 0121，当q1时，a2 0121，故选C.2在等比数列an中，a11，a103，则a2a3a4a5a6a7a8a9等于(A)A81 B27C.D243解析：由等比数列的性质可知：a1a10a2a9a3a8a4a7a5a63.故a2a3a4a5a6a7a8a93481.故选A.二、填空题3设an是由正数组成的等比数列，且a5a681，那么log3a1log3a2log3a9log3a108.解析：an0，且an为等比数列，a1a10a2a9a5a68134.log3a1log3a2log3a9log3a10log3388.解析：ana11332333n13123(n1).三、解答题5在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000.求这四个数解：设前三个数分别为ad，a，ad，则有(ad)a(ad)48，即a16.再设后三个数分别为，b，bq，则有bbqb38 000，即b20.四个数分别为m,16,20，n.m2162012，n25，即四个数分别为12,16,20,25.