1、第3课时 利用导数证明不等式基础题组练1(2020河南豫南九校联考)设定义在(0，)上的函数f(x)的导函数f(x)满足xf(x)1，则()Af(2)f(1)ln 2Bf(2)f(1)1 Df(2)f(1)1f(x)(ln x)，即f(x)(ln x)0.令F(x)f(x)ln x，则F(x)在(0，)上是增加的，故f(2)ln 2f(1)ln 1，即f(2)f(1)ln 2.2若0x1x2ln x2ln x1Be x2e x1x1ex2Dx2ex1x1ex2解析：选C.令f(x)，则f(x).当0x1时，f(x)0，即f(x)在(0，1)上是减少的，因为0x1x21，所以f(x2)f(x1)
2、，即x1ex2，故选C.3已知函数f(x)aexln x1.(e2.718 28是自然对数的底数)(1)设x2是函数f(x)的极值点，求实数a的值，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，f(x)0.解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex.由题设知，f(2)0，所以a.从而f(x)exln x1，f(x)ex.当0x2时，f(x)2时，f(x)0.所以f(x)在(0，2)上是减少的，在(2，)上是增加的 (2)证明：当a时，f(x)ln x1.设g(x)ln x1，则g(x).当0x1时，g(x)1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因
3、此，当a时，f(x)0.4(2020武汉调研)已知函数f(x)ln x，aR.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a0时，证明：f(x).解：(1)f(x)(x0)当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上是增加的当a0时，若xa，则f(x)0，函数f(x)在(a，)上是增加的；若0xa，则f(x)0时，f(x)minf(a)ln a1.要证f(x)，只需证ln a1，即证ln a10.令函数g(a)ln a1，则g(a)(a0)，当0a1时，g(a)1时，g(a)0，所以g(a)在(0，1)上是减少的，在(1，)上是增加的，所以g(a)ming(1)0.所以ln a10恒成立，所以f(x
4、).5(2020广东茂名一模)已知函数f(x)(aR)的图象在x2处的切线斜率为.(1)求实数a的值，并讨论函数f(x)的单调性；(2)若g(x)exln xf(x)，证明：g(x)1.解：(1)由f(x)，得切线斜率kf(2)ae，解得a2.所以f(x)，其定义域为(，0)(0，)，且f(x)2ex1.令f(x)0，解得x1，故f(x)在区间(1，)上是增加的；令f(x)0，解得x1，即exln x1等价于xln x.设h(x)xln x(x0)，则h(x)ln x1.因为hln10，所以当x时，h(x)0.故h(x)在区间上是减少的，在区间上是增加的，所以h(x)在(0，)上的最小值为h.
5、设m(x)(x0)，则m(x).所以当x(0，1)时，m(x)0；当x(1，)时，m(x)m(x)成立，即g(x)1.6已知函数f(x)ln xex(R)(1)若函数f(x)是单调函数，求的取值范围；(2)求证：当0x11.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，因为f(x)ln xex，所以f(x)ex，因为函数f(x)是单调函数，所以f(x)0或f(x)0在(0，)上恒成立，当函数f(x)是减函数时，f(x)0，所以0，即xex0，xex.令(x)，则(x)，当0x1时，(x)1时，(x)0，则(x)在(0，1)上是减少的，在(1，)上是增加的，所以当x0时，(x)min(1)，所以.当函数f(x)是增函数时，f(x)0，所以0，即xex0，xex，由得(x)在(0，1)上是减少的，在(1，)上是增加的，又(0)0，x时，(x)0，所以0.综上，的取值范围为0，)(2)证明：由(1)可知，当时，f(x)ln xex在(0，) 上是减少的，因为0x1f(x2)，即ln x1ex1ln x2ex2，所以e1x2e1x1ln x1ln x2.要证e1x2e1x11，只需证ln x1ln x21，即证ln1.令t，t(0，1)，则只需证ln t1，令h(t)ln t1，则h(t)，当0t1时，h(t)0，即ln t1，原不等式得证