1、考点3 直线和抛物线的综合题（2018浙江卷）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（2）若P是半椭圆x2y241（x0）上的动点，求PAB面积的取值范围【解析】（1）设P（x0，y0），A14y12,y1，B14y22,y2.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程y+y022414y2+x02，即y22y0y8x0y020的两个不同的实根所以y1y22y0，所以PM垂直于y轴（2）由（1）可知y1+y2=2y0,y1y2=8x0-y02,所以|PM|18（y12y
2、22）x034y023x0，|y1y2|22y02-4x0.所以PAB的面积SPAB12|PM|y1y2|324(y024x0)32.因为x02y0241（1x00），所以y024x04x024x044,5，所以PAB面积的取值范围是62,15104.【答案】见解析（2018全国卷（文）设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k（k0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程【解析】（1）由题意得F（1,0），l的方程为yk（x1）（k0）设A（x1，y1），B（x2，y2），由y=kx-1,y2=4x得k2x2（2k24）xk
3、20.16k2160，故x1x22k2+4k2.所以|AB|AF|BF|（x11）（x21）4k2+4k2.由题意知4k2+4k28，解得k1（舍去）或k1.因此l的方程为xy10.（2）由（1）得AB的中点坐标为（3,2），所以AB的垂直平分线方程为y2（x3），即yx5.设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则y0=-x0+5,(x0+1)2=x0-y0-122+16,解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.因此所求圆的方程为（x3）2（y2）216或（x11）2（y6）2144.【答案】见解析（2018全国卷（文）设抛物线C：y22x，点A（2,0），B（2,0），过点A的直线l与
4、C交于M，N两点（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：ABMABN.【解析】（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得点M的坐标为（2,2）或（2，2）所以直线BM的方程为y12x1或y12x1.即x2y20或x2y20.（2）证明当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABMABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk（x2）（k0），M（x1，y1），N（x2，y2），则x10，x20.由y=kx-2,y2=2x,得ky22y4k0，显然方程有两个不等实根所以y1y22k，y1y24.直线BM，BN的斜率之和kBMkBNy1x1+2y2x2+2x2y1+x1y2+2y1+y2x1+2x2+2.将x1y1k2，x2y2k2及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22（y1y2）2y1y2+4k(y1+y2)k-8+8k0.所以kBMkBN0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.【答案】见解析（2018北京卷（文）已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线y24ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_【解析】由题意知，直线l的方程为x1，则直线与抛物线的交点为（1，2a）（a0）又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a4，即a1.所以抛物线的焦点坐标为（1,0）【答案】（1,0）
