1、7.4 直接证明与间接证明、数学归纳法 核心考点精准研析 考点一 反证法的应用 1.用反证法证明命题:“a,b,c,dR,a+b=1,c+d=1,且 ac+bd1,则 a,b,c,d 中至少有一个负数”时的假设为()A.a,b,c,d 至少有一个正数 B.a,b,c,d 全为正数 C.a,b,c,d 全都大于等于 0 D.a,b,c,d 中至多有一个负数 2.对于命题:“若 ab=0(a,bR),则 a=0 或 b=0”,若用反证法证明该命题,下列假设正确的是()A.假设 a,b 都不为 0 B.假设 a,b 至少有一个不为 0 C.假设 a,b 都为 0 D.假设 a,b 中至多有一个为 0
2、 3.若数列an是各项均为正数的等比数列,公比 q1,求证:1-an,1-an+1,1-an+2不可能成等比数列.【解析】1.选 C.用反证法证明命题:“a,b,c,dR,a+b=1,c+d=1,且 ac+bd1,则 a,b,c,d 中至少有一个负数”时的假设为 a,b,c,d 全都大于等于 0.2.选 A.用反证法证明命题“若 ab=0(a,bR),则 a=0 或 b=0”时,假设正确的是:假设 a,b 都不为 0.3.假设 1-an,1-an+1,1-an+2成等比数列,则(1-an+1)2=(1-an)(1-an+2),即 1-2an+1+=1+anan+2-(an+an+2),因为数列
3、an是等比数列,所以=anan+2,所以 2an+1=an+an+2,所以数列an是等差数列,所以数列an是常数列,这与已知相矛盾,故假设不成立,所以 1-an,1-an+1,1-an+2不可能成等比数列.用反证法证明数学命题需把握的三点(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面.(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证.(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,但是推导出的矛盾必须是明显的.考点二 分析法的应用 【典例】1.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设 abc,且 a+b+c=0,求证:0;a-c0
4、;(a-b)(a-c)0;(a-b)(a-c)0.2.已知数列an是各项都是互不相等的正数的等差数列,求证:+2.【解题导思】序号 联想解题 1 由 a+b+c=0,想到 b=-a-c 由bc,且 a+b+c=0 可得 b=-a-c,要证“a”,只要证 b20,即证 2a2-c2-ac0,(a-c)(a+a+c)0,即证(a-c)(a-b)0,故“0.答案:2.要证+2,只要证 a1+a3+24a2,因为数列an是等差数列,所以 a1+a3=2a2,只要证a2,只要证,因为数列an各项均为互不相等的正数,所以成立,所以+0,且 an2,故 an+1=,所以=,显然 an0,+23,所以 0),
5、当 a0 时,f(x)0 时,x时,f(x)0,故 f(x)在递减,在递增.(2)当 a=3 时,f(x)=+3ln x-2,令 h(x)=g(x)-f(x)=x2+x-3ln x+2,则 h(x)=(x0),令 h(x)0,解得:x1,令 h(x)0,解得:0 x1,故 h(x)在递减,在递增,故 h(x)极小值=h(x)min=h=40,显然成立,故 g(x)f(x)恒成立.构造差函数用什么方法证明恒成立?提示:构造差函数,通过求出差函数的最小值证明.与立体几何有关的证明【典例】如图,三棱柱 ABC-A1B1C1,点 A1在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上,E 是 B1C1的中点,
6、BAC=CAA1=60,且 AB=AC=AA1.(1)求证:DE平面 AA1B1B.(2)求证:B1CA1B.【证明】(1)因为点 A1在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上,所以 A1DAC,又CAA1=60,AC=AA1,所以 D 是 AC 的中点,取 A1B1的中点 F.连接 EF,AF.因为 E 是 B1C1的中点,所以 EFA1C1,EF=A1C1.所以 EFAD,EF=AD.所以四边形 ADEF 是平行四边形,故 AFDE.因为 AF平面 AA1B1B,DE平面 AA1B1B.所以 DE平面 AA1B1B.(2)连接 BD,AB1,由(1)知 D 是 AC 的中点.又 AB=A
7、C,BAC=60,所以 BDAC.所以 AC平面 A1BD.所以 ACA1B.又四边形 AA1B1B 是平行四边形,AB=AA1,所以 AB1A1B.所以 A1B平面 AB1C.所以 B1CA1B.1.设函数 f(x)=x3+,x0,1,证明:(1)f(x)1-x+x2;(2),所以 f(x).综上,-;又计算:-20.236,-0.213,-0.196,所以-2-,-.(1)分析以上结论,试写出一个一般性的命题.(2)判断该命题的真假,并给出证明.【解析】(1)一般性的命题:n 是正整数,则-.(2)命题是真命题.因为-=,-=,所以-.考点四 数学归纳法的应用 【典例】(2019福州模拟)
8、设 i 为虚数单位,0,2).已知(cos+isin)2=cos 2+isin 2,(cos+isin)3=cos 3+isin 3,(cos+isin)4=cos 4+isin 4.(1)你能得到什么一般性的猜想?请用数学归纳法证明猜想.(2)已知 z=+i,试利用(1)的结论求 z10.【解题导思】序号 联想解题(1)猜想结论 利用已知的式子观察、猜想 数学归纳法证明 按照数学归纳法证明的步骤证明(2)求 z10 将 z 化为三角形式代入计算【解析】(1)猜想:(cos+isin)n=cos n+isin n(nN*)成立.证明:当 n=1 时,左边=右边=cos+isin,所以猜想成立;
9、假设当 n=k(kN*)时,(cos+isin)k=cos k+isin k成立,则当 n=k+1 时,(cos+isin)k+1=(cos+isin)k(cos+isin)=(cos k+isin k)(cos+isin)=(cos kcos-sin ksin)+i(sin kcos+cosksin)=cos(k+1)+isin(k+1),当 n=k+1 时,猜想也成立;综上,由可得对任意 nN*,猜想成立.(2)z=+i=2=2,可得 z10=210=1 024=1 024=512-512i.关于数学归纳法的应用(1)涉及与正整数有关的命题,才可以考虑利用数学归纳法进行证明.(2)利用数学
10、归纳法证明的关键是证明从 k 到 k+1 时仍然成立,一是先要弄清 n=k 时式子的结构特征,再要弄清 n=k+1 时式子结构、项的变化,二是证明 n=k+1 时要充分利用假设,即 n=k 时的结论.(2019黄山模拟)已知函数 f1(x)=sin,xR,记 fn+1(x)为 fn(x)的导数,nN*.(1)求 f2(x),f3(x).(2)猜想 fn(x),nN*的表达式,并证明你的猜想.【解析】(1)f2(x)=f1(x)=cos,f3(x)=-sin=-sin.(2)猜想:fn(x)=sin,nN*.下面用数学归纳法证明:当 n=1 时,结论成立;假设 n=k(kN*)时,结论成立,即 fk(x)=sin.当 n=k+1 时,fk+1(x)=fk(x)=cos=sin.所以当 n=k+1 时,结论成立.所以由可知对任意的 nN*结论成立.
