1、第8课时函数的奇偶性(2) 教学过程一、 问题情境问题1已知函数y=f(x)是偶函数,它在y轴右侧的图象如图1所示,画出它在y轴左侧的图象,并观察对应区间上函数的单调性、最大值、最小值的关系,归纳出一般性的结论,并用定义加以证明.如果函数y=f(x)是奇函数呢?请类似考虑.(图1)二、 数学建构(一) 生成概念问题2(1)已知y=f(x)是奇函数,它在(0, +)上是单调增函数,则y=f(x)在(-, 0)上是单调增函数;(2)已知y=f(x)是偶函数,它在(0, +)上是单调增函数,则y=f(x)在(-, 0)上是单调减函数.1(二) 理解概念函数奇偶性与单调性的关系必须建立在“关于原点对称
2、的区间上”.下面给出问题2的部分证明.证明(以(1)为例)任取x1, x2(-, 0),且x1-x20. y=f(x)在(0, +)上是单调增函数, f(-x1)f(-x2). y=f(x)是奇函数, f(-x1)=-f(x1), f(-x2)=-f(x2), -f(x1)-f(x2),即f(x1)f(x2). y=f(x)在(-, 0)上是单调增函数.(三) 巩固概念 一般地,函数的奇偶性和单调性之间的关系如下: 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.三、 数学运用【例1】已知y=f(x)是奇函数,它在(0, +)上是单调增函数,且f(x)0.试
3、问:F(x)=在(-, 0)上是单调增函数还是单调减函数?证明你的结论.(见学生用书课堂本P25)处理建议根据函数单调性的定义,可以设x1x20,进而判断F(x1)-F(x2)=-=的符号.规范板书解任取x1, x2(-, 0),且x1-x20. y=f(x)在(0, +)上是单调增函数,且f(x)0, f(-x2)f(-x1)f(x1)0,于是F(x1)-F(x2)=-=0, F(x)=在(-, 0)上是单调减函数.题后反思一般情况下,若要证明函数f(x)在区间A上的单调性,就在区间A上设x10时,f(x)=x2+3x-1.求ff(-2)的值.规范板书解f(x)是奇函数,且x0时,f(x)=
4、x2+3x-1, f(-2)=-f(2)=-9, f(-9)=-f(9)=107, ff(-2)=107.【例2】定义在(-1, 1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是单调减函数,若f(1-a)+f(1-3a)0,求实数a的取值范围.(见学生用书课堂本P26)处理建议引导学生先根据奇函数性质把f(1-a)+f(1-3a)0变换成f(1-3a)f(a-1),再根据减函数性质得出关于a的限制条件,同时注意定义域对a的限制.规范板书解原不等式化为f(1-3a)-f(1-a). f(x)是奇函数,-f(1-a)=f(a-1).f(1-3a)a-1, a.又函数 f(x)的定义域为(-1, 1), 解得
5、0a.综上, 实数a的取值范围为.题后反思要重视定义域在解题中的限制.【例3】已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x0时的函数解析式,关键是转化成-x0,则-x0时,f(x)=-x2+x+2.又 函数f(x)是定义域为R的奇函数, f(0)=0.综上所述, f(x)=函数f(x)的单调增区间为,单调减区间为和.题后反思一般情况下,若要求函数f(x)在区间A上的解析式,就在区间A上设x.求分段函数的单调区间,应先画出其图象,再根据图象判断.变式已知定义在R上的偶函数f(x)在区间0, +)上是单调增函数,若f(1)f(x),求实数x的取值范围.处理建议可以点拨学生结合图象考虑.规范板书解 定
6、义在R上的偶函数f(x)在区间0, +)上是单调增函数,f(1)1,解得x1或x0时,-x0,则f(x)=, f(-x)=-=, f(x)=f(-x).当x0,则f(x)=-, f(-x)=-, f(x)=f(-x).综上所述,对于x0都有f(-x)=f(x)成立, f(x)为偶函数.解法二f(x)=1+,该函数的定义域为, f(-x)=1+=1+=f(x),因此函数f(x)为偶函数.四、 课堂练习 1. 若函数f(x)=x2+mx+1为偶函数, 则函数f(x)在(-3, -1)上是单调减函数.(填“增”或“减”) 2. 已知函数f(x)定义在R上.(1) 求证:g(x)=f(x)+f(-x)
7、是偶函数; (2)求证:h(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.证明(1) g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x), g(x)=f(x)+f(-x)是偶函数.(2) h(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x), h(x)=f(x)-f(-x)是奇函数. 3. 定义在R上的函数y=f(x)对于任意x, yR都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)0 .(1) 求f(0)的值;(2)求证:函数f(x)是偶函数.解(1)令x=y=0,则2f(0)=2f2(0), f(0)=0或1.又 f(0)0, f(0)=1.(2) 令x=0,则f(0+y)+f(0-y)=2f(0)f(y),而f(0)=1, f(y)+f(-y)=2f(y),即f(-y)=f(y), 函数f(x)是偶函数.五、 课堂小结本节课主要学习了函数奇偶性的应用,要能熟练运用单调性与奇偶性讨论函数的性质,并能够利用函数的单调性和奇偶性解决一些问题.