1、3.4生活中的优化问题举例内容标准学科素养1.了解导数在解决实际问题中的作用2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.利用数据分析提升数学建模及逻辑推理授课提示：对应学生用书第71页基础认识知识点生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题某厂家计划用一种材料生产一种盛500 mL溶液的圆柱形易拉罐(1)生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？(2)如何制作使用材料才能最省？提示：(1)计算出圆柱的表面积即可(2)要使用料最省，只需圆柱的表
2、面积最小可设圆柱的底面半径为x，列出圆柱表面积S2x2(x0)，求S最小时，圆柱的半径、高即可 知识梳理(1)利用导数解决生活中优化问题的基本思路(2)解决优化问题的基本步骤分析实际问题中各变量之间的关系，根据实际问题建立数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)；求导函数f(x)，解方程f(x)0；比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值；依据实际问题的意义给出答案自我检测1已知某厂家生产某种产品的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx336x126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A11万件 B9万件C7万件D
3、6万件答案：D2用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，则该长方体的最大体积为()A2 m3B3 m3C4 m3 D5 m3答案：B授课提示：对应学生用书第72页探究一几何中的最值问题阅读教材P101例1学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？题型：几何中的最值问题方法步骤：设出版心的高为x，得出版心的宽为.建立目标函数Sf(x)利用导数求出函数的最小值例1请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是
4、边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解析(1)由题意知包装盒的底面边长为x cm，高为(30x)cm,0x30，所以包装盒侧面积为S4x(30x)8x(30x)828225，当且仅当x30x，即x15时，等号成立，所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x15.(2
5、)包装盒容积V2x2(30x)2x360x2(0x0，得0x20；令V0，得20x30.所以当x20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的底面边长为20 cm，高为10 cm，包装盒的高与底面边长的比值为12.方法技巧面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验特别注意：在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域跟踪探究1.某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点
6、，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在ABM内进行绿化设ABM的面积为S(单位：m2)，AON(单位：弧度)(1)将S表示为的函数；(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积解析：(1)BMAOsin 100sin ，ABMOAOcos 100100cos ，(0，)则SMBAB100sin (100100cos )5 000(sin sin cos )，(0，)(2)S5 000(2cos2cos 1)5 000(2cos 1)(cos 1)令S0，得cos 或cos 1(舍去)，此时.当变化时，S，S的变化情况如下表：S0S极大值所以，当时，S取得最大值Smax3 7
7、50m2，此时AB150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m.探究二实际生活中的最值问题教材P104习题3.4A组6题已知某商品生产成本C与产量q的函数关系为C1004q，单价p与产量q的函数关系式为p25q.求产量q为何值时，利润L最大？解析：利润LpqCq(1004q)q221q100(0q0；当q(84,200)时，L0.当产量q为84时，利润L最大产量为84时，利润L最大例2某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0x21)的平方成正比已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件(1)
8、将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解析(1)若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件由已知条件，得k2224，解得k6.若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f(x)(30x9)(4326x2)6x3126x2432x9 072，x0,21(2)对(1)中函数求导得f(x)18x2252x43218(x2)(x12)当x变化时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，12)12(12，21)21f(x)00f(x)9 072极小值极大值0x12时，f(x)取得极大值f(0)9 072，f(12)11 664，
9、定价为301218(元)时，能使一个星期的商品销售利润最大方法技巧利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润收入成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值解此类问题需注意两点：价格要大于或等于成本，否则就会亏本；销量要大于0，否则不会获利跟踪探究2.某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额t25t(百万元)(0t3)(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额
10、为x3x23x(百万元)请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大(收益销售额投入)解析：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)，当t2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)，则g(x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3)，g(x)x24，令g(x)0，解得x2(舍去)或x2.又当0x0；当2x3时，g(x)0)，固定部分为a元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？易错分析解决实际应用问题时，要注意问题中某些关键量的实际限制条件或隐含条件若忽视这些限制条件或隐含条件导致最值错误考查数据分析及数学运算自我纠正(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为yabv2s，故所求函数及其定义域为ys，v(0，c(2)由题意知s，a，b，v均为正数由ys0，得v，v(0，c若c，则v是极值点，即当v时，全程运输成本y最小若c因为v(0，c，此时yc时，行驶速度vc.