1、第2课时空间中直线、平面的垂直素养目标定方向 课程标准学法解读1理解直线的方向向量和平面的法向量2能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系1能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系(数学抽象)2能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理(逻辑推理)3能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系(逻辑推理)必备知识探新知 知识点 空间中垂直关系的向量表示设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，平面，的法向量分别为n1，n2，则线线垂直l1l2_u1u2_u1u20_线面垂直l1_u1n1_R，u1n1_面面垂直_n1n2_n1n20_思考
2、：怎样用语言叙述利用直线的方向向量与平面的法向量判断垂直关系？提示：(1)若证线线垂直，则证直线的方向向量垂直；(2)若证线面垂直，则证直线的方向向量与平面的法向量平行；(3)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直关键能力攻重难 题型探究题型一利用向量方法证明线线垂直典例1如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PAAB1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动求证：无论点E在边BC上的何处，都有PEAF分析只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可证明方法1：以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设ADa，则A(0,0,0)
3、，P(0,0,1)，B(0,1,0)，C(a,1,0)，于是FE在BC上，设E(m,1,0)，(m,1，1)，0，PEAF无论点E在边BC上何处，总有PEAF方法2：因为点E在边BC上，可设，于是()()()()()(011000)0，因此故无论点E在边BC上的何处，都有PEAF规律方法利用向量方法证明线线垂直的方法(1)坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直(2)基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算
4、律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直【对点训练】已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CNCC1求证：AB1MN证明如图，以平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B1，M，N即，故0因此，即AB1MN题型二利用向量方法证明线面垂直典例2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为棱AB，BC，B1B的中点求证：D1M平面EFB1分析一种思路是不建系，利用基向量法证明与平面EFB1内的两个不共线向量都垂直，从而根据线面垂直的判定定
5、理证得结论；另一种思路是建立空间直角坐标系，通过坐标运算证明与平面EFB1内的两个不共线向量都垂直；还可以在建系的前提下，求得平面EFB1的法向量，然后说明与法向量共线，从而证得结论证明方法1：因为E，F，M分别为棱AB，BC，B1B的中点，所以，而，于是00000，因此同理，又因为，不共线，因此D1M平面EFB1方法2：分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D1(0,0,1)，M，B1(1，1,1)，E，F，于是，因此101(1)0，故；又110(1)0，故又，不共线，因此D1M平面EFB1方法3：分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直
6、角坐标系，则D1(0,0,1)，M，B1(1,1,1)，E，F于是，设平面EFB1的法向量为n(x，y，z)，于是n，n，因此取x2，则y2，z1，即n(2,2，1)，而(2,2，1)，即n，所以n，故D1M平面EFB1规律方法坐标法证明线面垂直的两种思路(1)根据线面垂直的判定定理证明：求出直线的方向向量，在平面内找两条相交直线，并分别求出表示它们的方向向量，计算两组向量的数量积为0，得到该直线与平面内的两条相交直线都垂直(2)法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，向量法判断直线的方向向量与平面的法向量平行【对点训练】如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中
7、点求证：AB1平面A1BD证明如图所示，取BC的中点O，连接AO因为ABC为正三角形，所以AOBC因为正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1取B1C1的中点O1，以O为原点，以，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1，1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)所以(1,2，)，(1,2，)，(2,1,0)方法一：因为1(1)22()0，1(2)21()00所以，即AB1BA1，AB1BD又因为BA1BDB，所以AB1平面A1BD方法二：设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则有n，n，故令
8、x1，则y2，z，故n(1,2，)为平面A1BD的一个法向量，而(1,2，)，所以n，所以n，故AB1平面A1BD题型三利用向量方法证明面面垂直典例3如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBC2，BB11，点E为BB1的中点，证明：平面AEC1平面AA1C1C分析要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n1，n2，证明n1n20解析由题意得AB，BC，B1B两两垂直以点B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0，2,0)，C1(0,2
9、,1)，E，则(0,0,1)，(2,2,0)，(2,2,1)，设平面AA1C1C的一个法向量为n1(x1，y1，z1)则令x11，得y11n1(1,1,0)设平面AEC1的一个法向量为n2(x2，y2，z2)则令z24，得x21，y21n2(1，1,4)，n1n2111(1)040，n1n2，平面AEC1平面AA1C1C规律方法1利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直2向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需
10、经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度【对点训练】三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，BAC90，A1A平面ABC，A1A，ABAC2A1C12，D为BC的中点证明：平面A1AD平面BCC1B1证明如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)，因为D为BC的中点，所以D点坐标为(1,1,0)，所以(0,0，)，(1,1,0)，(2,2,0)，(0，1，)，设平面A1AD的法向量n1(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量为n2(x2，y2，z2)由得
11、令y11得x11，z10，此时n1(1，1,0)由得令y21，得x21，z2，此时n2所以n1n21100，所以n1n2，所以平面A1AD平面BCC1B1题型四探究性问题典例4在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P平面C1DE解析建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1，P(0,1，a)，则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，E，C1(0,1,1)，(0,1,0)，(1,1，a1)，(0,1,1)设平面A1B1P的法向量为n1(x1，y1，z1)，则所以令z11，得x1a1，此时n1(a1,0,1)设平面C1DE的法向量为n2
12、(x2，y2，z2)，则令y21，得x22，z21，此时n2(2,1，1)因为平面A1B1P平面C1DE，所以n1n20，即2(a1)10，得a所以当P为CC1的中点时，平面A1B1P平面C1DE规律方法空间向量适合解决这类立体几何中的探索性问题，它无须进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断解题时，把要说明成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解”“是否有规定范围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题【对点训练】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A
13、1C1的中点，E是B1C的中点(1)求cos，；(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF平面B1DF？若存在，求出|；若不存在，请说明理由解析(1)以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系AC2a，ABC90，ABBCaB(0,0,0)，A(a,0,0)，C(0，a,0)，B1(0,0,3a)，A1(a，0,3a)，C1(0，a,3a)，D，E，(a，a,3a)，|a，|a，0a2a2a2cos，(2)存在理由如下：假设存在点F，使CF平面B1DF不妨设AFb，则F(a,0，b)，(a，a，b)，(a,0，b3a)，a2a200，恒成立由2a2b(b3a)b23ab2a20，得ba或b2a
14、，当|a或|2a时，CF平面B1DF易错警示典例5在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCCD，BCD90，ADB30，E、F分别是AC、AD的中点判断平面BEF与平面ABC是否垂直错解过B作BxCD，CDBC，BxBC建立如图所示空间直角坐标系，则平面ABC的一个法向量n(1,0,0)，设BCa，则CDa，BDa，ADB30，ABa，C(0，a,0)、D(a，a,0)、A(0,0，a)，E(0，a)、F(，a)n0，n0，n不是平面BEF的法向量，故平面BEF与平面ABC不垂直辨析上述解答有三处主要错误，一是混淆了面面平行与面面垂直的向量表示，当平面ABC与平面BEF垂直时，应有两平面的法向量垂直，从而应是n是否与、共面，二是D点的坐标错误，D点的横坐标应为负值，三是计算错误，在RtABD中，由BDA30，BDa应得AB正解建立如图所示坐标系Bxyz，取A(0,0，a)，则易得B(0,0,0)，C，D(0，a,0)，E，F，则有，(0,0，a)、0，0，EFAB，EFBC又ABBCB，EF平面ABC又EF平面BEF，平面ABC平面BEF
