1、第五节 直线与平面垂直的判定及其性质 A 级基础过关|固根基|1.(2019 届成都市二诊)已知 a，b 是两条异面直线，直线 c 与 a，b 都垂直，则下列说法正确的是()A若 c平面，则 a B若 c平面，则 a，b C存在平面，使得 c，a，b D存在平面，使得 c，a，b 解析：选 C 对于 A，直线 a 可以在平面 内，也可以与平面 相交；对于 B，直线 a可以在平面 内，或者 b 在平面 内；对于 D，如果 a，b，则有 ab，与条件中两直线异面矛盾 2(2019 届武汉市调研测试)已知两个平面相互垂直，下列命题 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内已知
2、直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题个数是()A3 B2 C1 D0 解析：选 C 构造正方体 ABCDA1B1C1D1，如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，平面 ADD1A1平面 ABCD，A1D平面 ADD1A1，但 A1D 与平面 ABCD 不垂直，故错；在正方体 ABCDA1B1C1D1中，平面 ADD1A1平面 ABCD，设 l 是平面 ADD1A1内的任意一条直线，l 与平面 ABCD 内同 AB 平行的所有直线垂直，故正确；在正方体 ABCDA1B1C1D
3、1中，平面 ADD1A1平面 ABCD，A1D平面 ADD1A1，但 A1D 与平面 ABCD不垂直，故错；在正方体 ABCDA1B1C1D1中，平面 ADD1A1平面 ABCD，且平面 ADD1A1平面 ABCDAD，过交线 AD 上的点作交线的垂线 l，则 l 可能与另一平面垂直，也可能与另一平面不垂直，故错故选 C 3(2019 届合肥市一检)平面 外有两条直线 a，b，它们在平面 内的投影分别是直线 m，n，则下列命题正确的是()A若 ab，则 mn B若 mn，则 ab C若 mn，则 ab D若 m 与 n 相交，则 a 与 b 相交或异面 解析：选 D 对于选项 A，当直线 a，
4、b 相交，且所在平面与平面 垂直时，直线 m，n重合，故 A 不正确；对于选项 B，不妨在正方体 ABCDA1B1C1D1中考虑，取面对角线 AB1，AD1，其所在直线分别记为 a，b，其在平面 ABCD 上的投影分别为 AB，AD，记为 m，n，此时 mn，但 a 与 b 不垂直，故 B 不正确；对于选项 C，不妨在正方体 ABCDA1B1C1D1中考虑，取面对角线 AB1，CD1，其所在直线分别记为 a，b，其在平面 ABCD 上的投影分别为 AB，CD，记为 m，n，此时 mn，但 a 与 b 不平行，故 C 不正确；对于选项 D，若 m 与 n 相交，则 a 与 b 不可能平行，只能是
5、相交或异面，故 D 正确 4(2019 届合肥市二检)如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有()A2 对 B3 对 C4 对 D5 对 解析：选 C 由三视图知该几何体是一个四棱锥，它有一个侧面与底面垂直，且顶点在底面上的射影在底面的一条边的中点处，即如图所示的四棱锥 SABCD，平面 SCD平面 ABCD因为 ADDC，BCDC，且平面 SCD平面 ABCDDC，所以 AD平面 SCD，BC平面SCD，所以平面 SAD平面 SCD，平面 SBC平面 SCD又由三视图知SCSD，同时由 AD平面 SCD，知 ADSC，又 SDADD，所以 SC
6、平面 SAD，所以平面 SBC平面 SAD综上可知，该多面体各表面所在平面互相垂直的有 4 对，故选 C 5(2019 届湖北七市高三联考)设直线 m 与平面 相交但不垂直，则下列说法中正确的是()A在平面 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B过直线 m 有且只有一个平面与平面 垂直 C与直线 m 垂直的直线不可能与平面 平行 D与直线 m 平行的平面不可能与平面 垂直 解析：选 B 在平面 内可能有无数条直线与直线 m 垂直，这些直线是互相平行的，A错误；只要 m，过直线 m 必有并且也只有一个平面与平面 垂直，B 正确；类似于 A，在平面 外可能有无数条直线垂直于直线 m 并且平行于平面
7、，C 错误；与直线 m 平行且与平面 垂直的平面有无数个，D 错误故选 B 6(2019 届贵阳监测)如图，在三棱锥 PABC 中，不能证明 APBC 的条件是()AAPPB，APPC BAPPB，BCPB C平面 BPC平面 APC，BCPC DAP平面 PBC 解析：选 B 因为 APPB，APPC，PBPCP，所以 AP平面 PBC又 BC平面 PBC，所以 APBC，故 A、D 正确；因为平面 BPC平面 APC 且平面 BPC平面 ACPPC，BCPC，所以 BC平面 APC又 AP平面 APC，所以 APBC，故 C 正确；选项 B 中的条件不能判断出APBC，故选 B 7(201
8、9 届南昌市一模)如图，在四棱台 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是菱形，CC1底面ABCD，且BAD60，CDCC12C1D14，E 是棱 BB1的中点(1)求证：AA1BD；(2)求三棱锥 B1A1C1E 的体积 解：(1)证明：因为 CC1底面 ABCD，所以 CC1BD 如图，连接 AC，因为底面 ABCD 是菱形，所以 BDAC 由四棱台 ABCDA1B1C1D1知，A1，A，C，C1四点共面 又 ACCC1C，所以 BD平面 ACC1A1.所以 BDAA1.(2)连接 BA1，BC1，CA1，CB1，由已知，得 V 三棱锥 B1A1C1EV 三棱锥 EA1B1C112V
9、 三棱锥 BA1B1C112V 三棱锥CA1B1C1，又 V 三棱锥 CA1B1C113SA1B1C1CC1131222sin 12044 33，所以三棱锥 B1A1C1E的体积 V 三棱锥 B1A1C1E2 33.8(2019 届广州市调研测试)如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED平面 ABCD，EFAB，AB2，BCEF1，AE 6，DE3，BAD60，G 为 BC 的中点 (1)求证：FG平面 BED；(2)求证：BD平面 AED 证明：(1)如图，取 BD 的中点 O，连接 OE，OG，在BCD 中，因为 G 是 BC 的中点，所以 OGDC 且 OG12DC1.因为 E
10、FAB，ABDC，EF1，所以 EFOG 且 EFOG，所以四边形 OGFE 是平行四边形，所以 FGOE.又 FG平面 BED，OE平面 BED，所以 FG平面 BED(2)在ABD 中，AD1，AB2，BAD60，由余弦定理得 BD122221212 3.因为 BD2AD2314AB2，所以 BDAD 因为平面 AED平面 ABCD，BD平面 ABCD，平面 AED平面 ABCDAD，所以 BD平面 AED 9(2019 届贵阳市高三第一次适应性考试)如图，在四棱锥 PABCD中，四边形 ABCD 为直角梯形，ADBC，ADC90，平面 PAD平面 ABCD，Q，M 分别为 AD，PC 的
11、中点，PAPD2，BC12AD1，CD 3.(1)求证：平面 PBC平面 PQB；(2)求三棱锥 PQMB 的体积 解：(1)证明：ADBC，Q 为 AD 的中点，BC12AD，BC QD，四边形 BCDQ 为平行四边形 ADC90，BCBQ.PAPD，Q 为 AD 的中点，PQAD，又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PQ平面 ABCD，PQBC 又 PQBQQ，BC平面 PQB BC平面 PBC，平面 PBC平面 PQB(2)解法一：在 RtPQB 中，PQ PA2AQ2 3，BQCD 3，SPQB12PQQB32.由(1)知 BC平面 PQB，连接 QC，V 三
12、棱锥 CPQB13SPQBBC1332112.又 M 是线段 PC 的中点，V 三棱锥 PQMBV 三棱锥 MPQB12V 三棱锥 CPQB121214，故三棱锥 PQMB 的体积为14.解法二：如图，连接 QC，记 QC 的中点为 E，连接 ME.在PQC 中，M为 PC 的中点，E 为 QC 的中点，ME 为PQC 的中位线，则 ME12PQ 且 PQME.由(1)可知 PQ平面 ABCD，ME平面 ABCD 在PAD 中，PAPDAD2，Q 为 AD 的中点，PQ 3.BC12AD1，ADBC，ADC90，四边形 BCDQ 为长方形 又 CD 3，QB 3，SBQC12BCQB 32.V
13、 三棱锥 PQMBV 三棱锥 PBQCV 三棱锥 MBQC13(PQME)SBQC1312PQSBQC16 3 32 14，故三棱锥 PQMB 的体积为14.B 级素养提升|练能力|10.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱长为 2，ACBC1，ACB90，D 是 A1B1的中点，F 是 BB1上的动点，AB1，DF 交于点 E.要使 AB1平面 C1DF，则线段 B1F 的长为()A12 B1 C32 D2 解析：选 A 设 B1Fx，因为 AB1平面 C1DF，DF平面 C1DF，所以 AB1DF.由已知可得A1B1 2，设 RtAA1B1斜边 AB1上的高为 h，则 DE12h.
14、又 2 2h22（2）2，所以 h2 33，DE 33.在 RtDB1E 中，B1E222332 66.在 RtDB1F 中，由面积相等得 66 x2222 22 x，解得 x12，即线段 B1F 的长为12.11(2019 届武汉调研)在矩形 ABCD 中，ABBC，现将ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直；存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直；存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直 其中正确结论的序号是_ 解析：假设 AC 与 BD 垂直，过点 A 作 AEBD 于 E，连接
15、CE，则 AEBD，BDAC，AEACABD平面 AECBDCE，而在平面 BCD 中，CE 与 BD 不垂直，故假设不成立，不正确；假设 ABCD，ABAD，CDADD，AB平面 ACD，ABAC，由 ABBC 可知，存在这样的等腰直角三角形，使 ABCD，故假设成立，正确；假设 ADBC，CDBC，ADCDD，BC平面 ACD，BCAC，即ABC 为直角三角形，且 AB 为斜边，而 ABBC，故矛盾，假设不成立，不正确综上，填.答案：12.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD(只要填
16、写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接 AC，BD，则 ACBD，因为 PA底面 ABCD，所以 PABD又PAACA，所以 BD平面 PAC，所以 BDPC所以当 DMPC(或 BMPC)时，即有 PC平面 MBD又 PC平面 PCD，所以平面 MBD平面 PCD 答案：DMPC(或 BMPC)(答案不唯一)13如图所示，在长方形 ABCD 中，AB2，BC1，E 为 CD 的中点，F 为线段 EC 上(端点除外)一动点现将AFD 沿 AF 折起，使平面 ABD平面 ABCF.在平面 ABD内过点 D 作 DKAB，K 为垂足设 AKt，则 t 的取值范围是_ 解析：如图所示，过点 K 作
17、 KMAF 于点 M，连接 DM，易得 DMAF，与折前的图形对比，可知折前的图形中 D，M，K 三点共线且 DKAF(如图所示)，于是DAKFDA，所以AKADADDF，即t1 1DF，所以 t 1DF.又 DF(1，2)，故 t12，1.答案：12，1 14.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是DAB60且边长为 a 的菱形，侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD，若 G为 AD 的中点(1)求证：BG平面 PAD；(2)求证：ADPB；(3)若 E 为 BC 边的中点，能否在棱 PC 上找到一点 F，使平面 DEF平面 ABCD？并证明你的结论 解：(
18、1)证明：在菱形 ABCD 中，DAB60，G 为 AD 的中点，所以 BGAD 又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，BG平面 ABCD，所以 BG平面 PAD(2)证明：如图，连接 PG，因为PAD 为正三角形，G 为 AD 的中点，所以 PGAD 由(1)知 BGAD，又 PGBGG，所以 AD平面 PGB因为 PB平面 PGB，所以 ADPB(3)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF平面 ABCD 证明：如图，取 PC 的中点 F，连接 DE，EF，DF.在PBC 中，FEPB，又 FE平面 DEF，PB平面 DEF，所以 PB平面 DEF.在菱形 ABCD 中，GBDE，又 DE平面 DEF，GB平面 DEF，所以 GB平面 DEF.又 PB平面 PGB，GB平面 PGB，PBGBB，所以平面 DEF平面 PGB 因为 BG平面 PAD，PG平面 PAD，所以 BGPG.又因为 PGAD，ADBGG，所以 PG平面 ABCD 又 PG平面 PGB，所以平面 PGB平面 ABCD，所以平面 DEF平面 ABCD