1、核心素养测评三十一 基本不等式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.若a,bR,且ab0,则下列不等式中,恒成立的是()A.a+b2B.+C.+2D.a2+b22ab【解析】选C.因为ab0,所以0,0,所以+2=2,当且仅当a=b时取等号.2.(2020宿州模拟)已知函数y=x-4+(x-1),当x=a时,y取得最小值b,则2a+3b等于()A.9B.7C.5D.3【解析】选B.因为x-1,所以x+10,所以y=x-4+=x+1+-52-5=1,当且仅当x+1=,即x=2时取等号,所以y取得最小值b=1,此时x=a=2,所以2a+3b=7.3.若log2x+log2y=1,
2、则2x+y的最小值为()A.1B.2C.2D.4【解析】选D.因为log2x+log2y=1,所以log2xy=1,所以xy=2,所以2x+y2=4,当且仅当2x=y,即x=1,y=2时取等号.所以2x+y的最小值为4.4.(2019温州模拟)若ab0,则的最小值为()A.2B.C.3D.2【解析】选A.因为ab0,所以=+2=2,当且仅当=,即a=b时取等号.5.若a,b都是正数,且a+b=1,则(a+1)(b+1)的最大值为()A.B.2C.D.4【解析】选C.由题意可知(a+1)(b+1)=,当且仅当a=b=时取等号.6.(2020泉州模拟)已知a0,b0,4a+b=2,则+的最小值是(
3、)A.4B.C.5D.9【解析】选B.因为a0,b0,4a+b=2,所以+=(4a+b)=,当且仅当=,即a=,b=时取等号.7.正数a,b满足+=1,若不等式a+b-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是 ()A.3,+)B.(-,3C.(-,6D.6,+)【解析】选D.因为a0,b0,+=1,所以a+b=(a+b)=10+10+2=16,当且仅当=,即a=4,b=12时,等号成立.由题意,得16-x2+4x+18-m,即x2-4x-2-m对任意实数x恒成立,令f(x)=x2-4x-2,则f(x)=x2-4x-2=(x-2)2-6,所以f(x)的最小值为-6,所以-6-
4、m,即m6.二、填空题(每小题5分,共15分)8.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系式为y=-x2+18x-25(xN*),则当每台机器运转_年时,年平均利润最大,最大值是_万元.【解析】每台机器运转x年的年平均利润为=18-,而x0,故18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.答案:589.已知x,y为正实数,则+的最小值为_.【解析】因为x,y为正实数,则+=+1=+1,令t=,则t0,所以+=+t+1=+t+2+=,当且仅当t=时取等号.所以+的最小值为.答案:10.
5、(2019阳泉模拟)函数y=(x1)的最大值为_.【解析】函数y=x+1+=(x-1)+2 (x0,b0,则下列不等式中不成立的是()A.a+b+2B.C.a+bD.(a+b)4【解析】选B.因为a0,b0,所以a+b+2+2,当且仅当a=b且2=,即a=b=时取等号,故A成立;因为a+b20,所以,当且仅当a=b时取等号,所以不一定成立,故B不成立,因为=,当且仅当a=b时取等号,=a+b-2-,当且仅当a=b时取等号,所以,所以a+b,故C一定成立,因为(a+b)=2+4,当且仅当a=b时取等号,故D一定成立.2.(5分)当0m时,若+k2-2k恒成立,则实数k的取值范围为()A.-2,0
6、)(0,4B.-4,0)(0,2C.-4,2D.-2,4【解析】选D.因为0m0)有公共点的圆称之为C的“望圆”,则曲线C的所有“望圆”中半径最小值为()A.4B.C.8D.2【解析】选D.根据题意,设为曲线C上任意一点,“望圆”的半径为r,若“望圆”与曲线C有公共点,则r2=(t+1)2+=t2+2+22+22+2=8,当且仅当t=时,等号成立,则r的最小值为2.4.(5分)(2019赣州模拟)已知正数x,y满足x+y=5,则+的最小值为_.【解析】正数x,y满足x+y=5,所以(x+1)+(y+2)=8,则+=(x+1)+(y+2)=,当且仅当x+1=y+2,即x=3,y=2时,上式取得最小值.答案:5.(5分)(2020朝阳模拟)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2+ab=c2,且ABC的面积为c,则ab的最小值为_.【解析】在ABC中,a2+b2+ab=c2,结合余弦定理a2+b2-2abcos C=c2,可得cos C=- ,所以sin C=.由三角形面积公式,可得c=absin C代入化简可得c=,代入a2+b2+ab=c2中可得a2+b2=-ab,因为a2+b22ab,所以-ab2ab,解不等式可得ab48,所以ab的最小值为48.答案:48