1、函数最值在实际生活中的应用(习题课)A级基础巩固1已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A13万件B11万件C9万件 D7万件解析：选Cyx281，令y0，解得x9或x9(舍去)，当0x9时，y0；当x9时，y0. 所以当x9时，y取得极大值同时为最大值2要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为()A. cm B. cmC. cm D. cm解析：选B设圆锥的高为h cm，0h20，V圆锥(202h2)h(400h2)h，V(4003h2)，令V0得h，当h时，V0，当
2、h时，V0，故当h时，体积最大3方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为()A4 B6C4.5 D8解析：选A设底面边长为x，高为h，则V(x)x2h256，h，S(x)x24xhx24xx2，S(x)2x.令S(x)0，解得x8，h4.4某超市中秋前30天，月饼销售总量f(t)与时间t(0t30，tZ)的关系大致满足f(t)t210t12，则该超市前t天平均售出的月饼最少为()A14个 B15个C16个 D17个解析：选D记g(t)t10(0t30，tZ)，令h(t)t10(0t30)，则g(t)的图象为h(t)图象上横坐标为整数的点令h(t)10，得t2(负值舍去)，则h(t)在
3、区间(0，2)上单调递减，在区间(2，30上单调递增，而g(t)中tZ，且g(3)g(4)17，所以g(t)min17.故选D.5某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x，x(0，0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()A0.016 2 B0.032 4C0.024 3 D0.048 6解析：选B依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x(0，0.048 6)所以银行的收益是y0.048 6kx2k
4、x3(0x0.048 6)，则y0.097 2kx3kx2.令y0，得x0.032 4或x0(舍去)当0x0.032 4时，y0；当0.032 4x0.048 6时，y0.所以当x0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益6某厂生产某种商品x件的总成本c(x)1 200x3(单位：万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为_件时，总利润最大解析：设产品的单价为p万元，根据已知，可设p2，其中k为比例系数因为当x100时，p50，所以k250 000.所以p2，p，x0.设总利润为y万元，yx1 200x3
5、500x31 200.则yx2.令y0，得x25，故当0x25时，y0，当x25时，y0，当x25时，函数y取得极大值也是最大值答案：257某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处解析：依题意可设每月土地占用费y1，每月库存货物的运费y2k2x，其中x是仓库到车站的距离于是，由2，得k120；由810k2，得k2.因此两项费用之和为y.y.令y0，得x5(x5舍去)，且当x5时，y0；当0x5时，y
6、0，故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小答案：58.如图，内接于抛物线y1x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是_解析：设CDx，则点C坐标为，点B坐标为，矩形ABCD的面积Sf(x)xx，x(0，2)由f(x)x210，得x(舍)或x，x时，f(x)0，f(x)是递增的，x时，f(x)0，f(x)是递减的，当x时，f(x)取极大值且为最大值.答案：9请你设计一个包装盒，如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好
7、形成一个正四棱柱形状的包装盒点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形的斜边的两个端点设AEFBx(cm)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解：V(x)(x)2(602x)x2(602x)2x360x2(0x30)V(x)6x2120x6x(x20)令V(x)0，得x0(舍去)或x20.当0x20时，V(x)0；当20x30时，V(x)0.V(x)在x20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值底面边长为x20(cm)，高为(30x)10(cm)，即高与底面边长的比值为.10某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10
8、000平方米，该中心每块球场的建设面积为1 000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)800 来表示为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？解：由题可知1x10，且xN*，球场总建筑面积的每平方米的购地费用为元因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)800来表示，所以每平方米的综合费用(单位：元)为g(x)f(x)800160ln x(1x10，且xN*)令h(x)800160ln x(1x10)，则g(x)的图象为h(x)
9、图象上横坐标为整数的点，所以h(x)(1x10)令h(x)0，则x8，当1x8时，h(x)0，当8x10时，h(x)0，所以当x8时，函数h(x)取得极小值，且为最小值，即g(x)取得最小值故当该网球中心建8个球场时，每平方米的综合费用最省B级综合运用11某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q8 300170pp2.则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30 元 B60 元C28 000 元 D23 000 元解析：选D设毛利润为L(p)，由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20
10、)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)此时，L(30)23 000.因为在p30附近的左侧L(p)0，右侧L(p)0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000元12某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_吨解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n，总运费与总存储费之和f(x)4n4x4x，令f(x)40，解得x20或x20(舍去)，
11、x20是函数f(x)的极小值点也是最小值点，故当x20时，f(x)最小答案：2013.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为_ m时，帐篷的体积取得最大值为_m3.解析：设OO1为x m，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3. 则由题设可得正六棱锥底面边长为(m)，于是底面正六边形的面积为S6()2(82xx2)帐篷的体积为V(82xx2)(x1)(82xx2)(82xx2)(1612xx3)，V(123x2)令V0，解得x2或x2(不合题意，舍去)当1x2时，V0；当2x4时，V0.所
12、以当x2时，V取得极大值且为最大值，此时V(1612223)16(m3)答案：21614工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为p(c为常数，且0cc时，p，yx3x0；当0xc时，p，yx3x.日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系为y(c为常数，且0cc时，日盈利额为0.当0xc时，y，y，令y0，得x3或x9(舍去)，当0c0，y在区间(0，c上单调递增，y最大值f(c).当3c0，在(3，c)上，y0，y在(0，3)上单调递增，在(3，c)上单调递减y最大值f(3).综上，若0c3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；若3c6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大C
13、级拓展探究15.某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在ABM内进行绿化设ABM的面积为S(单位：m2)，AON(单位：弧度)(1)将S表示为的函数；(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积解：(1)BMAOsin 100sin ，ABMOAOcos 100100cos ，(0，)则SMBAB100sin (100100cos )5 000(sin sin cos )，(0，)(2)S5 000(2cos2cos 1)5 000(2cos 1)(cos 1)令S0，得cos 或cos 1(舍去)，此时.当变化时，S，S的变化情况如下表：S0S单调递增极大值单调递减所以，当时，S取得极大值且为最大值Smax3 750 m2，此时AB150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m