1、核心素养测评三 函数及其表示(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.若函数y=f(x)的定义域为M=x|-2x2,值域为N=y|0y2,则函数y=f(x)的图象可能是()【解析】选B.对于选项A中函数定义域不是-2,2;对于选项B符合题意;对于选项C中当x=2时,有两个y值与之对应,所以该图象不表示函数;D中函数值域不是0,2,所以它不符合题意.2. (2019南京模拟)函数f(x)=ln+的定义域为()A.(0,+)B.(1,+)C.(0,1)D.(0,1)(1,+)【解析】选B.要使函数f(x)有意义,应满足解得x1,故函数f(x)=ln+的定义域为(1,+).【变式备选】
2、函数f(x)=(x-2)0+ 的定义域是()A.B.C.(-,+)D.(2,+)【解析】选D.要使函数f(x)有意义,只需所以x-且x2,所以函数f(x)的定义域是(2,+).3.设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f=()A.2B.4C.6D.8【解析】选C.当x1时,函数f(x)为一次函数,所以0a1,由f(a)=f(a+1)得=2(a+1-1),解得a=,则f=f(4)=2(4-1)=6.4.(2020福州模拟)已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=f+f(x-1)的定义域为()A.(-2,0)B.(-2,2)C.(0,2) D.【解析】选C.由题意得所以所以0x0
3、,则f(a)=-a20,f(f(a)=-(a2+2a+2)2=2,无解.7.(多选)具有性质:f=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数:y=x-;y=ln ;y=其中满足“倒负”变换的函数是 ()A.B.C.D.无【解析】选A、C.中分别令f(x)=y,则对于,f(x)=x-,f=-x=-f(x),满足题意;对于,f(x)=ln ,则f=ln -f(x),不满足题意;对于,f=即f=则f=-f(x).所以满足“倒负”变换的函数是.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(1)定义域相同,值域相同,但对应关系不同的两个函数分别为_.(2)值域相同,对应关系相同,但定义域不同的
4、两个函数分别为_.【解析】(1)答案不唯一.因为y=与y=-两个函数的定义域都为x|x0,值域都为y|y0.而对应关系不同,所以两函数分别为f(x)=,g(x)=-.答案:f(x)=,g(x)=-(答案不唯一)(2)答案不唯一.函数f(x)=1,x-1,1与g(x)=1,x0,1的值域都是1,而定义域一个为-1,1,另一个为0,1,其对应关系都是:所有x对应的y值都是1.因此这两个函数可以为f(x)=1,x-1,1,g(x)=1,x0,1.答案:f(x)=1,x-1,1,g(x)=1,x0,1(答案不唯一)9.已知f=lg x,则f(x)的解析式为_.【解析】令+1=t,由于x0,所以t1且x
5、=,所以f(t)=lg ,即f(x)=lg (x1).答案:f(x)=lg (x1)10.(2020北京模拟)血药浓度(Serum Drug Concentration)是指药物吸收后在血浆内的总浓度(单位:mg/mL),通常用血药浓度来研究药物的作用强度.如图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况,其中点Ai的横坐标表示服用第i种药后血药浓度达到峰值时所用的时间,其他点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位:h),点Ai的纵坐标表示第i种药的血药浓度的峰值.(i=1,2,3)记Vi为服用第i种药后达到血药浓度峰值时,血药浓度提高的平均速度,则V1,V
6、2,V3中最大的是_;记Ti为服用第i种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间,则T1,T2,T3中最大的是_.【解析】设Ai(xi,yi),则Vi=,由于0x1x2x3,0y2y3,即V1最大;根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A1,A2,A3在第二次达到峰值一半时对应点,由图可知A3经历的时间最长,所以T1,T2,T3中最大的是T3.答案:V1T3(15分钟35分)1.(5分)已知函数y=f(x+1)的定义域是-2,3,则y=f(2x-1)的定义域为()A.-3,7B.-1,4C.-5,5D.【解析】选D.因为y=f(x+1)的定义域为-2,3,所以-1x+14.由-12x
7、-14,得0x,即y=f(2x-1)的定义域为.2.(5分)(2019滨州模拟)若函数f(x)满足:在定义域D内存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数f(x)为“1的饱和函数”.给出下列三个函数:f(x)=;f(x)=2x;f(x)=lg (x2+2).其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为()A.B.C. D.【解析】选B.对于,若存在实数x0,满足f(x0+1)=f(x0)+f(1),则=+1,所以+x0+1=0(x00,且x0-1),显然该方程无实根,因此不是“1的饱和函数”;对于,若存在实数x0,满足f(x0+1)=f(x0)+f(1),则=+2,解得x
8、0=1,因此是“1的饱和函数”;对于,若存在实数x0,满足f(x0+1)=f(x0)+f(1),则lg (x0+1)2+2=lg (+2)+lg (12+2),化简得2-2x0+3=0,显然该方程无实根,因此不是“1的饱和函数”.【变式备选】(2020日照模拟)已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,且对任意的实数x,都有ff(x)-ex=e+1(e是自然对数的底数),则f(ln 2)=()A.1B.e+1C.e+3D.3【解析】选D.因为函数f(x)是定义在R上的单调函数,不妨设f(c)=e+1,所以f(x)-ex=c,f(x)=ex+c.所以f(c)=ec+c=e+1.所以c=1.所以f(
9、x)=ex+1.所以f(ln 2)=eln2+1=3.3.(5分)已知f(x)+3f(-x)=2x+1,则f(x)=_.【解析】由已知得f(-x)+3f(x)=-2x+1,解方程组得f(x)=-x+.答案:-x+【变式备选】下列四个结论中,正确的结论序号是_.f(x)=与g(x)=表示同一函数;函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个;f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数;若f(x)=|x-1|-|x|,则f=0.【解析】对于,由于函数f(x)=的定义域为x|xR且x0,而函数g(x)=的定义域是R,所以二者不是同一函数;对于,若x=1不是y=f(x)定义域内
10、的值,则直线x=1与y=f(x)的图象没有交点,若x=1是y=f(x)定义域内的值,由函数的定义可知,直线x=1与y=f(x)的图象只有一个交点,即y=f(x)的图象与直线x=1最多有一个交点;对于,f(x)与g(t)的定义域和对应关系均分别对应相同,所以f(x)与g(t)表示同一函数;对于,由于f=-=0,所以f=f(0)=1.答案:4.(10分)设函数f(x)=且f(-2)=3,f(-1)=f(1).(1)求f(x)的解析式.(2)在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图象.【解析】(1)由f(-2)=3,f(-1)=f(1)得解得a=-1,b=1,所以f(x)=(2)f(x)的图象如图所
11、示.5.(10分)已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求函数f(x)的解析式.【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a0),又f(0)=0,所以c=0,所以f(x)=ax2+bx.又因为f(x+1)=f(x)+x+1,所以a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,所以(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1,所以解得所以f(x)=x2+x.【变式备选】若f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)的解析式为_.【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a0),又f(0)=c=3.所以f(x)=ax2+bx+3,所以f(x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+3-(ax2+bx+3)=4ax+4a+2b=4x+2.所以所以所以所求函数的解析式为f(x)=x2-x+3.答案:f(x)=x2-x+3