1、第2课时等差数列的性质内容标准学科素养1.进一步了解等差数列的项与序号之间的规律2.理解等差数列的性质3.会运用等差数列的性质解决问题.发展逻辑推理提升数学运算应用数学抽象授课提示：对应学生用书第26页基础认识知识点一等差数列的项与序号的关系(1)等差数列an中，ana1(n1)d.那么ana2_d？ana3_d?anam_d？(mn)提示：(n2)(n3)(nm)(2)等差数列an中，a1an与a2an1，a3an2有什么关系？提示：a1ana2an1a3an2. 知识梳理两项关系anam(nm)d(n，mN*)多项关系若an为等差数列，且mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq在
2、有穷等差数列an中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1ana2an1a3an2知识点二等差数列“子数列”的性质已知一个无穷等差数列an的首项为a1，公差为d.(1)将数列的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，首项、公差各是多少？(2)取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，首项、公差各是多少？(3)取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列呢？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？提示：上述问题中(1)是等差数列，首项为am1，公差为d.(2)是等差数列，首项为a1，公差为2d.(3)是等差数列，首项
3、为a7，公差为7d. 知识梳理已知一个无穷等差数列an的首项为a1，公差为d，(1)将数列中的前m项去掉，其余各项组成首项为am1，公差为d的等差数列(2)奇数项数列a2n1是公差为2d的等差数列偶数项数列a2n是公差为2d的等差数列(3)若数列kn是等差数列，则数列akn也是等差数列(4)can为公差为d的等差数列(c为任一常数)(5)can为公差为cd的等差数列(c为任一常数)(6)anank为公差为2d的等差数列(k为常数，kN*)(7)panqbn为公差为pdqd的等差数列(p，q为常数)知识点三等差数列的函数性质在直角坐标系中，画出通项公式为an3n5的数列的图象，这个图象有什么特点
4、？(1)数列an3n5为等差数列，其图象的孤立的点在_上提示：直线y3x5.(2)数列an3n5的公差是直线y3x5的_提示：斜率 知识梳理(1)等差数列与一次函数等差数列的通项公式ana1(n1)ddn(a1d)，当d0时，an是关于n的常数函数；当d0时，an是关于n的一次函数，点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，且是这条直线上的一列孤立的点(2)公差d与斜率等差数列an的图象是一条直线上的孤立的点，而这条直线的斜率即为公差d，即d(n2，nN*)(3)等差数列的单调性等差数列an的公差为d，当d0时，数列an为递增数列当d0时，数列an为递减数列当d0时，数列an为常数列自我检测1已
5、知等差数列an中，a7a916，a41，则a12的值是()A15B30C31 D64答案：A2已知(1,1)，(3,5)是等差数列an图象上的两点，则an_.答案：2n1授课提示：对应学生用书第27页探究一等差数列性质的应用阅读教材P68 复习参考题A组第8题1.在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，那么a2a8等于多少？提示：a3a4a5a6a75a5450，a590，故a2a82a5180.教材P68复习参考题B组第2题第(1)问2.如果a，b，c成等差数列，能构成等差数列吗？你能用函数图象解释一下吗？提示：不能构成等差数列，可以从图象上解释如果a，b，c成等差数列，则通项公式为
6、ypnq的形式，且a，b，c位于同一直线上，而，的通项公式却是y的形式，不可能在同一直线上，因此肯定不是等差数列例1(1)数列an为等差数列，已知a2a5a89，a3a5a721，求数列an的通项公式；(2)在等差数列an中，a158，a6020，求a75的值解析(1)a2a82a5，3a59，a53.a2a8a3a76，又a3a5a721，a3a77.由解得a31，a77或a37，a71.a31，d2，或a37，d2.由通项公式的变形公式ana3(n3)d，得an2n7或an2n13.(2)a60a15(6015)d，d，a75a60(7560)d201524.方法技巧等差数列运算的两条常用
7、思路(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足mnpq2r(m，n，p，q，rN*)，则amanapaq2ar.跟踪探究1.在单调递减的等差数列an中，若a31，a2a4，则a1()A1B2C. D3解析：由题知，a2a42a32，又因a2a4，数列an单调递减，所以a4，a2.所以公差d.所以a1a2d2.答案：B2在等差数列an中，已知a1a4a739，a2a5a833，求a3a6a9的值解析：(a2a5a8)(a1a4a7)3d，(a3a6a9)(a2a5a8)3d，a1a4a7，a2a5a8，a3a6a
8、9成等差数列a3a6a92(a2a5a8)(a1a4a7)2333927.探究二等差数列的设法与求解教材P40 A组第3题如果三角形的三个内角的度数成等差数列，那么中间的角是多少度？提示：设三个角分别为ad，a，ad，则adaad180，a60.例2已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列解析设四个数为a3d，ad，ad，a3d，则又因为是递增数列，所以d0，所以解得a，d，此等差数列为1,2,5,8或8，5，2,1.延伸探究1.若本例改为：已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数解析：法
9、一：设这三个数为a，b，c，则由题意得解得a4，b6，c8.这三个数为4,6,8.法二：设这三个数为ad，a，ad，由已知可得由得a6，代入得d2，该数列是递增的，d2舍去，这三个数为4,6,8.2已知单调递增的等差数列an的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列an的通项公式解析：法一：根据题意，设等差数列an的前三项分别为a1，a1d，a12d，则即解得或因为数列an为单调递增数列，所以从而等差数列an的通项公式为an4n1.法二：由于数列an为等差数列，所以可设前三项分别为ad，a，ad，由题意得即解得或由于数列an为单调递增数列，所以从而an4n1.方法技巧等差数列项的常见设法(
10、1)通项法：设数列的通项公式，即设ana1(n1)d.(2)对称项设法：当等差数列an的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：，a2d，ad，a，ad，a2d，；当等差数列an的项数为偶数时，可设中间两项分别为ad，ad，再以公差为2d向两边分别设项：，a3d，ad，ad，a3d，.授课提示：对应学生用书第28页课后小结在等差数列中，一般存在两种运算方法：一是利用基本量运算，借助于a1，d建立方程组进行运算，这是最基本的方法；二是利用性质运算，运用等差数列的性质可简化计算，往往会有事半功倍的效果素养培优1错用等差数列的性质致误在等差数列an中，若a610，a151，求a2
11、1的值易错分析将性质错用为“apaqapq”导致错解自我纠正设等差数列an的公差为d，则解得故a21a120d15205.2混淆两个等差数列的有关量两个等差数列5,8,11，和3,7,11，都有100项，那么它们共有多少相同的项？易错分析解决问题时，没弄清公式中各量的含义，不同的数列各量所用符号不能相同本例中项数n在数列an和数列bn中的意义有区别，当项相同时，对应的序号n不一定相同自我纠正设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为cn，c111.又等差数列5,8,11，的通项公式为an3n2，等差数列3,7,11，的通项公式为bn4n1.所以数列cn为等差数列，且公差d12，所以cn11(n1)1212n1.又a100302，b100399，cn12n1302，得n25，可见两数列共有25个相同的项