1、第2讲三角函数的图象与性质 考点1三角函数的定义、诱导公式及基本关系1三角函数：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则siny，cosx，tan.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦2同角关系：sin2cos21，tan.3诱导公式：在，kZ的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”例1(1)2018全国卷已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2，则|ab|()A.B.C. D1(2)2019山东潍坊一中月考化简得()Asin 2cos 2 Bcos 2sin 2Csin 2cos 2 Dcos 2
2、sin 2【解析】(1)由cos 2，得cos2sin2， ，即， tan ，即， |ab|.故选B.(2)|sin 2cos 2|，又20，cos 20，sin x与cos x同号，sin xcos x0，不妨设x是第一象限角，且角x终边上一点的坐标为(3,1)，sin x，cos x，sin xcos x，故选C.优解三sin xcos x，且tan x，sin xcos x，故选C.答案：C 考点2三角函数的图象与解析式函数yAsin(x)的图象(1)“五点法”作图设zx，令z0，2，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得(2)图象变换ysinxysin(x)ysin(x)yAsin(
3、x)例2(1)2019辽宁辽阳期末已知函数f(x)Asin x(A0，0)与g(x)cos x的部分图象如图所示，则()AA1，BA2，CA1，DA2，(2)2019山西平遥二中月考为了得到函数ysin的图象，只需把函数ycos 2x的图象上所有的点()A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向左平行移动个单位长度D向右平行移动个单位长度【解析】(1)由已知图象，可知1，T1.546，所以A2，.故选B.(2)通解ycos 2xsin，函数ysinsin，只需把函数ycos 2x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度就得到函数ysin的图象，故选B.优解ysincoscoscos 2
4、，只需把函数ycos 2x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度就得到函数ysin的图象，故选B.【答案】(1)B(2)B1确定yAsin(x)b(A0，0)的解析式的方法已知函数yAsin(x)(A0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置2警示在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.对接训练32019河南洛阳一中月考设
5、函数f(x)sin(2x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数是一个偶函数，则_.解析：通解f(x)sin(2x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)sin的图象，g(x)sin是偶函数，sin1，k(kZ)，|，.优解函数f(x)sin(2x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数是一个偶函数，f(x)sin(2x)的图象关于直线x对称，sin1，k(kZ)，|，.答案：42019成都检测已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示现将函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为()Ag(x)2sinBg(x)2s
6、inCg(x)2cos2x Dg(x)2sin解析：由图象，知A2，T4，所以2，将点代入f(x)2sin(2x)得sin1，即2k(kZ)，结合|，得，所以f(x)2sin，所以g(x)f2sin，故选D.答案：D 考点3三角函数的性质1三角函数的单调区间ysinx的单调递增区间是(kZ)，单调递减区间是(kZ)；ycosx的单调递增区间是2k，2k(kZ)，单调递减区间是2k，2k(kZ)；ytanx的递增区间是(kZ)2三角函数的奇偶性与对称性yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得yAcos(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(k
7、Z)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得yAtan(x)，当k(kZ)时为奇函数例3(1)2019全国卷下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是()Af(x)|cos 2x| Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos|x| Df(x)sin|x|(2)2019全国卷关于函数f(x)sin |x|sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数f(x)在区间单调递增f(x)在，有4个零点f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A BC D【解析】(1)本题主要考查三角函数的图象与性质，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算A中，函数f(x)|co
8、s 2x|的周期为，当x时，2x，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)|sin 2x|的周期为，当x时，2x，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)cos|x|cos x的周期为2，故C不正确；D中，f(x)sin|x|由正弦函数图象知，在x0和x0时，f(x)均以2为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确故选A.(2)本题主要考查三角函数的图象与性质(单调性、奇偶性、最值)，函数零点，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，
9、f(x)为偶函数，故正确；当x0)的单调区间的一般思路是令xz，则yAsinz(或yAcosz)，然后由复合函数的单调性求得(2)三角函数周期性的求法：函数yAsin(x)(或yAcos(x)的最小正周期T.应特别注意y|Asin(x)|的周期为T.(3)三角函数值域的求法：在求最值(或值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数f(x)的最值2警示求yAsin(x)的单调区间时，要注意，A的符号0)的最小正周期为2，则f(x)的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析：解法一因为f(x)22sin，f(x)的最小正周期为2，所以1，所以f(x
10、)2sin，由2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，所以f(x)的单调递增区间为(kZ)，故选B.解法二因为f(x)22cos，f(x)的最小正周期为2，所以1，所以f(x)2cos，由2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，所以f(x)的单调递增区间为(kZ)，故选B.答案：B62019重庆市学业质量调研将函数f(x)2sin2cos 2x的图象向左平移个单位长度，得到yg(x)的图象，则下列说法正确的是()A函数g(x)的最小正周期为2B函数g(x)的最小值为1C函数g(x)的图象关于x对称D函数g(x)在上单调递减解析：函数f(x)22cos 2xsin 2xcos 2x2cos
11、2xsin 2xcos 2x2sin，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得yg(x)2sin2sin的图象，则函数g(x)的最小正周期T，g(x)的最小值为2，g(x)的图象的对称轴为2xk(kZ)，即x(kZ)，当k0时，x为g(x)的图象的一条对称轴，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，当k0时，函数g(x)在上单调递减，故选C.答案：C 考点4三角函数与其他知识的交汇问题交汇创新三角函数的图象与性质是高考考查的重点，近年来，三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点，由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、复数、方程等知识的交汇例4(1)设集合M
12、y|y|cos2xsin2x|，xR，N，则MN为()A(0,1) B(0,1C0,1) D0,1(2)已知函数f(x)sin x若存在x1，x2，xm满足0x1x2xm6，且|f(x1)f(x2)|f(x2)f(x3)|f(xm1)f(xm)|12(m2，mN*)，则m的最小值为_【解析】(1)y|cos2xsin2x|cos 2x|0,1，所以M0,1因为，所以|xi|，即x212.又因为xR，所以1x0，当26n49时，an0；当76n99时，an0.答案：D课时作业7三角函数的图象与性质12019四川宜宾四中期中角的终边经过点P(4，y)，且sin ，则tan ()A B.C D.解析
13、：解法一sin ，y3，tan ，故选C.解法二由P(4，y)得角是第一或第四象限角或是终边在x轴的正半轴上的角，cos 0.sin ，cos ，tan ，故选C.解法三由P(4，y)得角是第一或第四象限角或是终边在x轴的正半轴上的角，sin 0，角是第四象限角，tan ，不妨取0，1tan 0，故选C.答案：C22019福建厦门检测已知sin()cos(2)，且|，则等于()A BC. D.解析：因为sin()cos(2)，所以sin cos ，所以tan .因为|，所以，故选D.答案：D32019安徽芜湖一中月考设是第三象限角，且|cos|cos，则的终边所在的象限是()A第一象限 B第二
14、象限C第三象限 D第四象限解析：是第三象限角，2k2k(kZ)，kk(kZ)，又|cos|cos，cos0，2k0，0，|)是奇函数，将yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)，若g(x)的最小正周期为2，且g，则f()A2 BC. D2解析：本题主要考查三角函数的图象与性质，考查学生的数形结合能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象由f(x)为奇函数可得k(kZ)，又|0)个单位长度得到函数g(x)cos的图象，则a的值可以为()A. B.C. D.解析：通解将函数f(x)sin的图象向右平移a(a0)个单位长度得到函数ysin的图象，ys
15、incos，g(x)cos和ycos是同一个函数，2a2k(kZ)，ak(kZ)，当k1时，a，a的值可以为，故选C.优解一f(x)sincoscoscos，将函数f(x)sin的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)cos的图象，又函数g(x)cos的周期为，将函数f(x)sin的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)cos的图象，故选C.优解二g(x)cossinsinsin，将函数f(x)sin的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)cos的图象，故选C.优解三f(x)sincoscoscos，将函数f(x)sin的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)cos的图象，故选C.答案：C11
16、2019河南洛阳联考已知函数f(x)asin xcos x的图象的一条对称轴为直线x，且f(x1)f(x2)4，则|x1x2|的最小值为()A0 B.C. D.解析：直线x为函数f(x)的图象的一条对称轴，解得a1，f(x)sin xcos x2sin.f(x1)f(x2)4，f(x1)和f(x2)中必有一个为函数f(x)的最大值，另一个为最小值由xk(kZ)得xk(kZ)，即函数f(x)的图象的对称中心为(kZ)，|x1x2|(kZ)，|x1x2|的最小值为，故选C.答案：C122019湖南株洲统一检测如图，正方形ABCD的边长为1，射线BP从BA的位置出发，绕着点B顺时针旋转至BC的位置，
17、在旋转的过程中，记ABPx，BP所经过的在正方形ABCD内的区域(阴影部分)的面积为yf(x)，则函数f(x)的图象是()解析：由题意得，当0x时，f(x)tan x，在区间上函数f(x)tan x是增函数且随x的增大f(x)增加得越来越快，排除选项A，C，又当x时，阴影部分的面积增加得越来越慢，排除选项B，函数f(x)的图象是选项D.答案：D132019江苏淮海阶段测试在平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，且|OP|2，则点P的坐标为_解析：设点P的坐标为(x，y)，由三角函数定义得点P的坐标为(1，)答案：(1，)142019江西九江一中月考已知cos，则cossin2_.解析：cossin2cossin2cossin2cos2cos1.答案：152019浙江温州一中月考已知函数f(x)sin(x)的部分图象如图所示，如果x1，x2，且f(x1)f(x2)，则f(x1x2)等于_解析：由图象得函数f(x)的周期为，2，又x1，x2，且f(x1)f(x2)，x1x2且直线x为函数f(x)图象的对称轴，sin1，又|0)若f(x)f对任意的实数x都成立，则的最小值为_解析： f(x)f对任意的实数x都成立， 当x时，f(x)取得最大值，即fcos1， 2k，kZ， 8k，kZ. 0， 当k0时，取得最小值.答案：