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《创新设计》2016届 数学一轮(理科) 人教A版 课时作业 第八章 立体几何-7 .doc

1、高考资源网() 您身边的高考专家第7讲立体几何中的向量方法(二)求空间角基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1(2014广东卷)已知向量a(1,0,1),则下列向量中与a成60夹角的是()A(1,1,0) B(1,1,0)C(0,1,1) D(1,0,1)解析 经检验,选项B中向量(1,1,0)与向量a(1,0,1)的夹角的余弦值为,即它们的夹角为60,故选B.答案B2(2014新课标全国卷)在直三棱柱 ABCA1B1C1中,BCA90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BCCACC1,则BM与AN所成角的余弦值为()A. B. C. D.解析建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,

2、设BC2,则B(0,2,0),A(2,0,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以(1,1,2),(1,0,2),故BM与AN所成角的余弦值cos .答案C3正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且1,N为B1B的中点,则|为()A.a B.a C.a D.a解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N.设M(x,y,z),点M在AC1上且1,(xa,y,z)(x,ay,az)xa,y,z.得M,| a.答案A4在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(

3、)A. B. C. D.解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设棱长为1,则A1(0,0,1),E,D(0,1,0),(0,1,1),设平面A1ED的一个法向量为n1(1,y,z),所以有即解得n1(1,2,2)平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1), cosn1,n2.即所成的锐二面角的余弦值为.答案B5在四面体PABC中,PA,PB,PC两两垂直,设PAPBPCa,则点P到平面ABC的距离为()A. B.a C. D.a解析根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz,则P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a)过点P作PH平面ABC,交

4、平面ABC于点H,则PH的长即为点P到平面ABC的距离PAPBPC,H为ABC的外心又ABC为正三角形,H为ABC的重心,可得H点的坐标为.PHa.点P到平面ABC的距离为a.答案B二、填空题6已知两平面的法向量分别为m(0,1,0),n(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为_解析 cosm,n,m,n.两平面所成二面角的大小为或.答案或7在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA12AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_解析以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA12AB2,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),则(0,1,0),(

5、1,1,0),(0,1,2)设平面BDC1的法向量为n(x,y,z),则n,n,所以有令y2,得平面BDC1的一个法向量为n(2,2,1)设CD与平面BDC1所成的角为,则sin |cosn,|.答案8.如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1底面ABC,ABBCAA1,ABC90,点E、F分别是棱AB、BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是_解析以BC为x轴,BA为y轴,BB1为z轴,建立空间直角坐标系设ABBCAA12,则C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),则(0,1,1),(2,0,2),2,cos,EF和BC1所成的角为60.答案60三、解答题9(2014

6、浙江卷)如图,在四棱锥ABCDE中,平面ABC平面BCDE,CDEBED90,ABCD2,DEBE1,AC.(1)证明:DE平面ACD;(2)求二面角BADE的大小(1)证明在直角梯形BCDE中,由DEBE1,CD2,得BDBC,由AC,AB2,得AB2AC2BC2,即ACBC,又平面ABC平面BCDE,从而AC平面BCDE,所以ACDE.又DEDC,DCACC,从而DE平面ACD.(2)解以D为原点,分别以射线DE,DC为x轴,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示由题意知各点坐标如下:D(0,0,0),E(1,0,0),C(0,2,0),A(0,2,),B(1,1,0)设平面A

7、DE的法向量为m(x1,y1,z1),平面ABD的法向量为n(x2,y2,z2),可算得(0,2,),(1,2,),(1,1,0),由即可取m(0,1,)由即可取n(1,1,)于是|cosm,n|,由题意可知,所求二面角是锐角,故二面角BADE的大小是.10(2013湖南卷)如图,在直棱柱ABCDA1B1C1D1中,ADBC,BAD90,ACBD,BC1,ADAA13.(1)证明:ACB1D;(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值(1)证明易知,AB,AD,AA1两两垂直如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系设ABt,则相关各点的坐标

8、为A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3)从而(t,3,3),(t,1,0),(t,3,0)因为ACBD,所以t2300,解得t或t(舍去)于是(,3,3),(,1,0)因为3300,所以,即ACB1D.(2)解由(1)知,(0,3,3),(,1,0),(0,1,0)设n(x,y,z)是平面ACD1的一个法向量,则即令x1,则n(1,)设直线B1C1与平面ACD1所成角为,则 sin |cosn,|.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.能力提升题组(建议用时:25分钟)11正ABC与正BCD所在

9、平面垂直,则二面角ABDC的正弦值为()A. B.C. D.解析取BC中点O,连接AO,DO.建立如图所示坐标系,设BC1,则A,B,D.,.由于为平面BCD的一个法向量,可进一步求出平面ABD的一个法向量n(1,1), cosn, sinn,.答案C12在正四棱锥SABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且 SOOD,则直线BC与平面PAC所成的角是()A30 B45C60 D90解析如图,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa.则A(a,0,0),B(0,a,0),C(a,0,0),P.则(2a,0,0),(a,a,0),设平面PAC的一个法向量为n

10、,设n(x,y,z),则解得可取n(0,1,1),则 cos,n,n60,直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案A13(2015南京一模)P是二面角AB棱上的一点,分别在平面,上引射线PM,PN,如果BPMBPN45,MPN60,那么二面角AB的大小为_解析不妨设PM a,PNb,如图,作MEAB于E,NFAB于F,EPMFPN45,PEa,PFb,()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0.,二面角AB的大小为90.答案9014(2014天津卷)如图,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ADAB,ABDC,ADDCAP2,AB1,点E为棱PC的中点(1)证明

11、:BEDC;(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(3)若F为棱PC上一点,满足BFAC,求二面角FABP的余弦值(1)证明依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系(如图),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)由E为棱PC的中点,得E(1,1,1)向量(0,1,1),(2,0,0),故0.所以BEDC.(2)解向量(1,2,0),(1,0,2),设n(x,y,z)为平面PBD的法向量,则即不妨令y1,可得n(2,1,1)为平面PBD的一个法向量,于是有cosn,.所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)解向量(1,2,0),(2,2,2),(2,2,0),(1,0,0)由点F在棱PC上,设 ,01.故 (12,22,2)由 BFAC,得0,因此,2(12)2(22)0,解得.即.设n1(x,y,z)为平面FAB的法向量,则即不妨令z1,可得n1(0,3,1)为平面FAB的一个法向量取平面ABP的法向量n2(0,1,0),则 cosn1,n2.易知,二面角FABP是锐角,所以其余弦值为.- 10 - 版权所有高考资源网

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