1、交大附中20202021学年第一学期高三第五次诊断考试数学(理科)试题一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. C分析：解绝对值不等式求集合B，利用集合的交运算，求.解答：由题意，而，.故选：C.2. 若，则（ ）A. -5B. 5C. -3D. 3B分析：首先算出，然后可得答案.解答：因为，所以所以故选：B3. 若一个几何体的三视图如图所示，其俯视图是正方形，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 6D分析：由三视图还原直观图，得正方体，进而求其表面积即可.解答：由题设，三视
2、图得如下直观图：棱长为1的正方体，正方体的表面积.故选：D.4. 若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. B分析：利用幂函数的单调性，直接求解即可解答：解：因为函数在定义域上单调递增，所以解得.故选：B5. 角顶点在原点，始边为x轴正半轴，点是角的终边与单位圆的交点，则（ ）A. B. C. -3D. 3B分析：根据终边上的点写出，结合二倍角余弦公式即可求值.解答：由题意知：，由二倍角余弦公式，有.故选：B.6. 执行如图所示的程序框图，则输出k的值为（ ）A. 10B. 11C. 12D. 13C分析：根据给出的程序框图，执行程序框图，利用程序框图的计算规律，结合判断条件，即可求解.
3、解答：由题意，执行程序框图，可得：第1次循环：满足判断条件，；第2次循环：满足判断条件，；第3次循环：满足判断条件，； 第11次循环：满足判断条件，此时不满足判断条件，输出故选：C.7. 函数零点个数为（ ）A. 1B. 3C. 0D. 2D分析：利用导数知识得到函数的性质，根据函数的性质画出函数的图象，观察图象可得答案.解答：当时，为递减函数，所以当时，函数取得最小值，为，且，当时，当时，当时，所以在上递增，在上递减，所以当时，取得最大值，最大值为，所以函数的图象如图：由图可知，函数零点个数为2.故选：D点拨：关键点点睛：作出函数的图象，利用图象求解是解题关键.8. 已知在三角形ABC中，角
4、A，B，C所对边分别为a，b，c，且，则三角形ABC的面积为（ ）A. B. C. D. A分析：根据三角形内角的性质，结合已知求，应用余弦定理求，再由三角形面积公式求面积即可.解答：三角形ABC中，由知：，而，由余弦公式，得，.故选：A.9. 设随机变量，且，则（ ）A. B. C. D. C分析：利用二项分布的概率公式，结合已知求n、p，由即可求方差.解答：由题意知：且，可得，.故选：C.10. 先将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上所有的点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图像，且，是函数的两个零点，则当时，函数的取值范围是（ ）A. B. C. D. B分析：由题
5、意知的周期为且，由、即可求，写出解析式，又可得解析式，进而求上的范围.解答：由，是函数两个零点，知：的最小正周期为，即，又且，则，而由图象平移知：，故时，.故选：B.点拨：关键点点睛：根据已知条件确定的最小正周期，求参数值并写出解析式，根据函数的平移关系写出解析式.11. 已知函数，则函数的极大值点和极小值分别是（ ）A. 和B. 和C. 和D. 和A分析：利用导数判断函数的单调性，再根据极值和极值点的概念可求得结果.解答：因为，所以，当时，当时，当时，,所以函数在上递减，在上递增，在上递减，所以函数在时取得极小值，为，在时取得极大值.所以函数的极大值点为，极小值为.故选：A12. 过抛物线的
6、焦点F作两条互相垂直的直线，与抛物线分别交于点A，B和点M，N，点O为坐标原点，则与的面积的倒数的平方和为（ ）A. 1B. 2或C. D. 2或C分析：由题意设的方程为，与抛物线联立，结合韦达定理及焦点弦公式，可求得弦长，又可求出原点到直线的距离，则可表示出的面积，利用，可表示出的面积，结合题意，即可得答案.解答：由题意知，直线，的斜率均存在，且焦点，设直线的方程为，代入抛物线方程，得，显然设，则，故.又原点到直线的距离，所以，因为，同理可得：，所以.故选：C点拨：方法点睛：本题考查抛物线几何性质，抛物线焦点弦问题，有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点，可
7、直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.二填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13. 函数的图象在点处的切线方程为_.分析：利用导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式可得结果.解答：因为，所以，所以函数在点处的切线的斜率为，由点斜式可得函数的图象在点处的切线方程为：，即.故答案为：14. 腰长为3的等腰直角三角形ABC中，则_.4分析：首先用、表示、，然后可算出答案.解答：因为，所以因为，所以故答案为：415. 已知焦距为4的双曲线的左，右顶点恰在圆上，则该双曲线两条渐近线的夹角为_.分析：由已知得，结合，求出b，进而求出渐近线方程，观察两
8、条渐近线斜率之积为，可知两条渐近线垂直，即可得到答案.解答：双曲线的焦距，双曲线的左，右顶点恰在圆上，所以双曲线两条渐近线方程分别为：与两渐近线斜率之积为，故两条渐近线互相垂直，所以两条渐近线的夹角为故答案为：16. 在四面体ABCD中，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则四面体ABCD的体积为_.分析：根据已知条件的边角关系，有、都为等腰直角三角形，即上的中点O为外接球的球心，进而求各棱长，根据线面垂直的判定证面，则四面体ABCD的体积，可求体积.解答：由题意知：、都为等边三角形，又，即，、都为等腰直角三角形，即可知上的中点O为外接球的球心，若外接球半径为R，则，即，所以，即，而，故面，即
9、四面体ABCD：以为底，OA为高有.故答案：.点拨：关键点点睛：由等边三角形的性质、勾股定理确定、的形状，确定外接球球心，进而求棱长，根据线面垂直确定四面体的高与底面，最后求体积.三解答题(共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17. 已知正项数列的首项，若满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前n项和为，求.（1） ；（2）.分析：（1）由已知得，可得出数列是以2为首项，2为公比等比数列，根据等比数列的通项公式可得答案.（2）运用错位相减法可求得答案.解答：（1）正项数列的首项，因为，所以，解得或（舍去），所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）因为，所以，上
10、面两式作差得所以.点拨：方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若是等差数列，是等比数列，求.（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有，等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.（5）倒序相加法.18. 将三颗大小和质地完全相同的骰子各掷一次，记向上的数字作为投掷的结果.（1）记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“没有出现3点”，计算；（2）记各掷一次大小和质地完全相同的三颗骰子，向上出现的不同数字的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望.（1
11、）；（2）分布列见解析，分析：（1）利用古典概型求出，再由条件概率公式即可求得结果；（2）各掷一次大小和质地完全相同的三颗骰子，向上出现的不同数字的个数X可能取值为0,2,3，分别利用古典概型计算概率，列出分布列，再计算期望.解答：（1）三颗骰子各掷一次共有种情况，事件A为“三个点数都不相同”有种情况，故事件B为“没有出现3点” 有种情况，故，.（2）各掷一次大小和质地完全相同的三颗骰子，向上出现的不同数字的个数X可能取值为0,2,3，故随机变量X的分布列：X023数学期望点拨：方法点睛：本题考查古典概型，离散型随机变量的分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值
12、情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.19. 在正方体中，E，F分别是AB，BC的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明见解析；（2）.分析：（1）由正方体的性质，结合三垂线定理可证，根据线面垂直的判定即可证平面；（2）构建以D为原点，为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，确定的坐标，求面的一个法向量，应用向量法求与夹角的余弦值，由线面角与该角互余，即可得直线与平面所成角的正弦值.解答：（1）连接、，即为在面上的射
13、影，为在面上的射影，正方体中，有，而，面.（2）构建以D为原点，为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系，若正方体的棱长为2，即，若面的一个法向量为，则，令有，直线与平面所成角的正弦值为.点拨：关键点点睛：（1）根据正方体性质、三垂线定理以及线面垂直的判定证明线面垂直；（2）构建空间直角坐标系，应用向量法，由线面角、直线方向向量与平面法向量夹角的关系，求线面角的正弦值.20. 已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为B，且.（1）求C的标准方程；（2）过点的直线交C于M，N两点，若的内切圆的周长为，求直线的方程.（1）；（2）.分析：（1）由题设知和均为等腰直角三角形，即有，求，写出椭圆标准方程即可
14、；（2）由题意直线的斜率不为0，可设直线为，代入椭圆方程整理，根据韦达定理、点线距离公式求、到直线的距离d，即可得面积与t的关系，又的内切圆的周长为求半径，又由其周长为4a，即可知面积，进而列方程求参数t，写出直线方程.解答：（1）由题设知：由左右焦点分别为，上顶点为B，且，和均为等腰直角三角形，且，即C的标准方程为.（2）由（1）知：，直线的斜率不为0，可设直线为，代入椭圆方程整理得：，若，则，而到直线的距离，故，又的内切圆的周长为，若内切圆半径为r，则，而的周长为，即，解得，直线的方程为.点拨：关键点点睛：（1）根据题设确定等腰直角三角形，即得，进而求参数a，写出椭圆方程；（2）由直线与椭
15、圆关系，结合韦达定理、点线距离公式写出面积关于参数的函数式，以及三角形内切圆半径与面积的关系求面积，进而列方程求参数.21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）存在极大值点.证明：的最大值不大于.（1）答案见解析；（2）证明见解析.分析：（1）由解析式得且定义域为，讨论、导函数的符号研究函数的单调性及其对应单调区间；（2）由（1）知要证结论只需证在恒成立，构造，利用导函数研究最值，即可证明不等式是否成立.解答：（1）由题设，且定义域为，当时，恒成立，即上单调递增；当时，若，则单调递增；若，则单调递减；综上：时，在定义域上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知：存在极大值点
16、，则有且极大值为，要证的最大值不大于，只需证，即，令，则，当时，单调增；当时，单调减；，即在上，恒成立，结论得证.点拨：关键点点睛：（1）根据解析式确定导函数及其定义域，应用分类讨论的方法，并结合导数研究含参函数的单调性；（2）将问题转化为在恒成立，并构造函数，利用导数研究其最值，进而判断不等式是否成立.22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）已知点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l距离的最小值.（1）曲线C：，直线l为；（2）.分析：（1）
17、利用同角三角函数平方关系消参，写出曲线C的普通方程，由直线极坐标方程直接写出其直角坐标方程；（2）设，即得，构造，利用导数研究函数的极值，进而确定的最小值即可.解答：（1）由已知，曲线C有，即曲线C的普通方程为；由坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，直线l的直角坐标方程为.（2）令，点P到直线l距离，若，则，当时，递减；当时，递增；时，.点拨：关键点点睛：第二问中，利用曲线上点的参数坐标，结合点线距离公式，构造函数并应用导数研究极值，进而确定距离的最值.23. 已知.（1）解关于x的不等式；（2）设最小值为m，其中a，b，c均为正实数，求证：.（1），（2）证明见详解.分析：（1）分、三种情况讨论求解即可；（2）由（1）求出，然后可得，然后利用柯西不等式证明即可.解答：（1）当时，所以当时，所以当时，所以综上：不等式的解集为（2）由（1）可知，当时取得最小值，即所以所以当且仅当时等号成立.