1、第三节空间点、线、面之间的位置关系A级基础过关|固根基|1.到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为()A1B4C7D8解析：选C当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥当平面一侧有一点，另一侧有三点时，如图1，令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有4个；当平面一侧有两点，另一侧有两点时，如图2，当平面过AB，BD，CD，AC的中点时，满足条件因为三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面有3个，所以满足条件的平面共有7个，故选C2在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只
2、有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：选A选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的3若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c()A一定平行B一定相交C一定是异面直线D一定垂直解析：选D两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直故选D4空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45，连接各边中点所得四边形的面积是()A6B12C12D24解析：选A如图，已知空间四边形ABCD，对角线AC6，BD8，易证四边形EFG
3、H为平行四边形，EFG或FGH为AC与BD所成的角，大小为45，故S四边形EFGH34sin 456.故选A5(2019届南宁市摸底联考)在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，异面直线BF与D1E所成角的余弦值为()ABCD解析：选D如图，过点E作EMAB，过M点作MNAD，取MN的中点为G，连接NE，D1G，则平面EMN平面ABCD，易知EGBF，所以异面直线BF与D1E的夹角为D1EG(或其补角)，不妨设正方体的棱长为2，则GE，D1G，D1E3，在D1EG中，cosD1EG，故选D6已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定()A与a
4、，b都相交B只能与a，b中的一条相交C至少与a，b中的一条相交D与a，b都平行解析：选C如果c与a，b都平行，那么由平行线的传递性知a，b平行，与异面矛盾故选C7下列命题中，真命题的个数为()如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；两条直线可以确定一个平面；空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；若M，M，l，则Ml.A1B2C3D4解析：选B根据公理2，可判断是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故是假命题；根据平面的性质可知是真命题综上，真命题的个数为2.8(2020届陕西摸底)将正方形ABCD中
5、的ACD沿对角线AC折起，使得平面ABC平面ACD，则异面直线AB与CD所成的角为()A90B60C45D30解析：选B解法一：如图，连接BD，取AC，BD，AD的中点分别为O，M，N，连接ON，OM，MN，则由三角形中位线定理知，ONCD，MNAB，所以ONM或其补角为所求的角连接BO，OD，因为ABBC，所以BOAC又平面ABC平面ACD，平面ABC平面ACDAC，OB平面ABC，所以BO平面ACD又DO平面ACD，所以BOOD设原正方形ABCD的边长为2，则BOOD，所以BD2，所以OMBD1，所以ONMNOM1，则OMN是等边三角形，所以ONM60，即异面直线AB与CD所成的角为60，
6、故选B解法二：如图，设AC的中点为O，连接DO，OB，因为ADDC，所以DOAC因为平面ABC平面ACD，平面ABC平面ACDAC，OD平面ACD，所以DO平面ABC延长BO到E，使得EOBO，连接DE，AE，CE，易证得四边形ABCE为正方形，所以ABEC，所以DCE或其补角为异面直线AB与CD所成的角设AC2a，则ECEDCDa，所以DCE为等边三角形，所以DCE60，即异面直线AB与CD所成角为60，故选B9(2020届石家庄摸底)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA1，BC2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为()ABCD解析：选B解法一：取B1C1的中点
7、为D1，连接A1D1，D1C，易证A1D1AD，所以D1A1C或其补角为异面直线AD与A，C所成的角ABAC，D为BC的中点，ADBC，AD1，A1D1AD1.又A1C2，D1C2，A1DD1C2A1C2，D1A1C为直角三角形，且cosD1A1C，D1A1C，故选B解法二：以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，A1(0，0，)，B(，0，0)，C(0，0)，D，0，0，(0，)，cos，.故选B10如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有_对解析：平面图形的翻折
8、应注意翻折前后相对位置的变化，在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行故互为异面直线的有3对答案：311.如图所示，AC是圆O的直径，B，D是圆O上两点，AC2BC2CD2，PA圆O所在的平面，PA，点M在线段BP上，且BMBP.(1)求证：CM平面PAD；(2)求异面直线BP与CD所成角的余弦值解：(1)证明：如图，作MEAB于点E，连接CE，则MEAP.因为AC是圆O的直径，AC2BC2CD2，所以ADDC，ABBC，所以BACCAD30，BCADCA60，ABCADC90，所以ABAD.因为BMBP，所以BEBA，
9、所以在RtBCE中，tanBCE，所以BCEECA30CAD，所以ECAD又MECEE，PADAA，所以平面MEC平面PAD又CM平面MEC，CM平面PAD，所以CM平面PAD(2)过点A作平行于BC的直线交CD的延长线于点G，作BFCG交AG于点F，连接PF，则PBF(或其补角)为异面直线BP与CD所成的角，设PBF.易知AF1，BP，BF2，PF2，故cos ，即异面直线BP与CD所成角的余弦值为.B级素养提升|练能力|12.已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也
10、不必要条件解析：选A若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，直线AC和BD平行，则A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件13已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A若直线a，b相交，设交点为P，则Pa，Pb，又a，b，所以P，P，故，相交反之，若，相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行故“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件14在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为棱AA1
11、，CC1的中点，则在空间中与直线A1B1，EF，BC都相交的直线()A不存在B有且只有两条C有且只有三条D有无数条解析：选D如图，在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时，确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，故有无数条直线与直线A1B1，EF，BC都相交15.如图，已知平面四边形ABCD，ABBC3，CD1，AD，ADC90.沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦值的最大值是_解析：作BEAC，BEAC，连接DE，则DBE为所求的角(或其补角)作DNAC于点N，设M为AC的中点，连接BM，则BMAC，作NFBM交BE于F，连接DF，设DNF.DN，BMFN，DF25cos .ACDN，ACFN，DFAC，DFBE.又BFMN，在RtDFB中，DB295cos ，cosDBE，当且仅当0时取“”，即直线AC与BD所成角的余弦值的最大值是.答案：
