1、新疆石河子第二中学2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合、，由此能求出.【详解】解：集合，.故选：C.【点睛】此题考查集合的并集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题2. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用斜率都存在两条直线垂直，斜率之积等于，设出所求直线的方程为，把点代入方程得到m值，即得所求的直线方程.【详解】所求直线与直线垂直，设所求直线的方程为，把点代入得，故所求的直线方程为，故选
2、：D.【点睛】本题考查两直线垂直的性质，两直线垂直，若斜率都存在，则斜率之积等于-1，属于基础题.3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D.点评：该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键.4. 等比数列中，则的前项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据求出公比，利用等比数列的前n项和公式即可求出.【详解】 , ，又所以， .故选：B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，属于基础题.5. 是第
3、四象限角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，先求出，由此能求出.【详解】是第四象限角，.故选：B.【点睛】本题考查已知正切值求正弦值，注意同角三角函数的关系的运用，属于基础题.6. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是四棱柱与同底的四棱锥的组合体,所以其体积为,故应选C.考点：三视图及体积的计算7. 设m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】
4、利用面面平行、面面垂直以及线面关系定理分别对四个命题分析解答.【详解】对于，若，根据面面平行的性质容易得到，故正确；对于，若，m与的关系不确定，故错误；对于，若，可以在找到一条直线l与m平行，所以，故，故正确；对于，若，那么m与的位置关系为或者，故错误；故选：A.【点睛】本题考查了面面平行、面面垂直以及线面关系定理的运用，关键是熟练掌握应该的定理，正确运用.8. 已知向量，若与共线，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的坐标运行与共线定理，列方程求出的值.【详解】由，则，又因 与共线，则，解得.故选：C.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与应用问题
5、，属于基础题9. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B等于（ ）A. 或B. 或C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理列出关系式，把a，b，sinA的值代入求出sinB的值，即可确定出B的度数.【详解】中，由正弦定理得：，则或故选：A.【点睛】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.10. 将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个可能取值为（ ）A. B. C. 0D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数平移法则和对称公式得到，对比选项得到答案.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象，图象
6、关于轴对称，可得，即，则的一个可能取值为.故选：B【点睛】本题考查了三角函数平移，根据三角函数对称求参数，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.11. 正方体中，与平面所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将与平面所成的角转化成与该平面所成的角，利用等体积法求出点D到平面的距离，再根据线面角的正弦值求法即可求出.【详解】在正方体中，与平面所成角即为与平面所成角，设点D到平面距离为h，正方体的棱长为a，则，所以，设与平面所成角为，则.故选：B.【点睛】本题考查了直线与平面所成的角，考查了转化思想，属于中档题.12. 已知函数内有且仅有两个不同的零点，则实数的取
7、值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】【分析】试题分析：令，分别作出与的图像如下， 由图像知是过定点的一条直线，当直线绕着定点转动时，与图像产生不同的交点.当直线在轴和直线及切线和直线之间时，与图像产生两个交点，此时或故答案选.考点：1.函数零点的应用；2.数形结合思想的应用.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 以点为直径的圆的标准方程为_【答案】【解析】【详解】圆心为，则为的中点，圆心为坐标为，即圆的半径，则以线段为直径的圆的方程为.故答案为：.14. 已知，满足约束条件则的最大值为_【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式
8、，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求解即可.【详解】画出表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最小，最大，最大值为，故答案为.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 已知为正实数且，则的最小值为_【答案】9【解析】【分析】所求的式子中“1”用
9、 代入，用基本不等式，即可求解.【详解】解：，因 ，则，当且仅当，即时等号成立，此时最小值为.故答案为:9.【点睛】本题考查基本不等式求最值.合理运用条件等式是解题的关键，属于基础题.16. 直线恒过定点_；若过原点作直线，则当直线与的距离最大时，直线的方程为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】将直线方程整理为，由此得到，解方程组可求得定点坐标；根据平行关系和过原点可知为，根据平行直线间距离公式和二次函数性质可确定距离最大时，代入整理可得结果.【详解】由得：，由得：，恒过定点.设直线方程为：，过原点，则之间距离，当时，.方程为：.故答案为：；.【点睛】本题考查直线所过定点坐标的求
10、解、平行直线间距离公式的应用等知识，涉及到二次函数性质的应用，关键是能够根据平行关系得到直线的方程.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知点和（1）求直线AB的斜率和AB的中点M的坐标；（2）若圆C经过A，B两点，且圆心在直线上，求圆C的方程.【答案】（1）直线AB的斜率为1，AB的中点M的坐标为；（2）.【解析】【分析】（1）利用斜率公式和中点坐标公式即可计算出；（2）设圆心C为，半径为r，根据条件可计算出.【详解】（1）由点和，得，直线AB的斜率为1，AB的中点M的坐标为；（2）设圆心C为，半径为r，圆心在直线上，则点C为，由题意可得，即，解得，.圆C的标准方程为.【点睛】
11、本题考查两点求斜率和中点坐标，考查圆的方程的求法，属于基础题.18. 已知公差不为零的等差数列中，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：设等差数列的公差，利用首项和公差表示数列的项，利已知三项成等比列方程求出公差，写出等差数列的通项公式，根据，求出数列的通项公式，由于适合使用分组求和，所以利用分组求和法求出数列的前n项的和，注意利用等差数列和等比数列 的前n项和公式的使用.试题解析：（1）设数列公差为 成等比数列（舍）或.（2）令.【点睛】本题是等差数列与等比数列及数列求和综合题，设等差数列的公差，利用首项和公差表示数列的
12、项，利已知三项成等比列方程求出公差，写出等差数列的通项公式，根据，求出数列的通项公式，由于适合使用分组求和，所以利用分组求和法求出数列的前n项的和，注意利用等差数列和等比数列 的前n项和公式的使用.19. 已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）若将函数图象上每点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在区间上的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）对化简，化为一个角的三角函数的形式，从而求出最小正周期；（2）将函数的图象变换后得到函数的图象，进一步求出值域.【详解】（1）函数，故它的最小正周期为.（2）若将函数的图象上每点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到
13、函数的图象.在区间上，故在区间上的值域为.【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式、两角和与差的正余弦公式、二倍角公式，以及图像的变换，考查了数形结合的思想和运算能力，属于基础题.20. 如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得平面，则，再由ABAD及线面垂直判定定理得AD平面ABC，即可得ADAC试题解析：证明：（1）在平面内，因为
14、ABAD，所以.又因为平面ABC，平面ABC，所以EF平面ABC.（2）因为平面ABD平面BCD，平面平面BCD=BD， 平面BCD，所以平面.因为平面，所以 .又ABAD，平面ABC，平面ABC，所以AD平面ABC，又因为AC平面ABC，所以ADAC.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直21. 已知平面内两点（1）求的中垂线方程；（2）求过点且与直线平行的直线的方程；（3）一束光线从点射向（2）中的直线，若反射光线过点，求反射光线所在的直线方程
15、【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)先求的中点坐标为，利用两直线垂直，则，再利用点斜式写出直线方程即可；（2）利用两直线平行，则，再利用点斜式写出直线方程即可；（3）先利用点关于直线的对称点求关于直线的对称点，的中点在直线上，则斜率乘积为 1，联立方程可解，再利用点斜式写出直线方程即可.【详解】（1），的中点坐标为，的中垂线斜率为，由点斜式可得，的中垂线方程为；（2）由点斜式，直线的方程，（3）设关于直线的对称点， 解得，由点斜式可得，整理得反射光线所在的直线方程为.22. 已知函数是定义域为的奇函数.（1）求实数的值并判断函数的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值
16、范围.【答案】（1）,单调递减（2）.【解析】分析：（1）由奇函数可得，解得，经检验，当时，函数为奇函数；设且，利用指数函数的性质可证明，从而可得结果；（2）结合函数的单调性与奇偶性可得，当时，不等式恒成立，等价于对恒成立，换元后，利用二次函数的性质列不等式组求解即可.详解：（1）解法一：函数是定义域为的奇函数，解得.经检验，当时，函数为奇函数，即所求实数的值为. ，在上恒成立，所以是上的减函数.解法二：函数是定义域为的奇函数，解得.经检验，当时，函数为奇函数，即所求实数的值为.设且，则，即，所以是上的减函数.（2）由，可得.是上的奇函数，又是上的减函数，所以对恒成立，令，对恒成立，令，解得，所以实数的取值范围为.点睛：本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.