1、抛物线的标准方程与几何性质的应用(习题课)A级基础巩固1若抛物线y22mx的焦点与圆x2y24x0的圆心重合，则m的值为()A2B2C4 D4解析：选D由抛物线方程y22mx可知其焦点为，将圆的方程变形为(x2)2y24可知其圆心为(2，0)，根据题意可得2，所以m4.故选D.2过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x210，则弦AB的长度为()A16 B14C12 D10解析：选C由题知抛物线的焦点为F(1，0)，则|AB|AF|BF|x11x21x1x2210212.3已知直线ykxk及抛物线y22px(p0)，则()A直线与抛物线有一个公共点
2、B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线可能没有公共点解析：选C直线ykxkk(x1)，直线过定点(1，0)当k0时，直线与抛物线有一个公共点；当k0时，直线与抛物线有两个公共点4过点(1，0)作斜率为2的直线，与抛物线y28x交于A，B两点，则弦AB的长为()A2 B2C2 D2解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意知AB的方程为y2(x1)，即y2x2.由 得x24x10，x1x24，x1x21.|AB|2.5.如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C.若点F是线段AC的中点，且|AF|4，则线段AB的
3、长为()A5 B6C. D.解析：选C如图，设A，B在准线上的射影分别为M，N，准线与x轴交于点H，则|FH|p.点F是线段AC的中点，|AF|4，|AM|42p，p2.设|BF|BN|x，则，即，解得x.|AB|AF|BF|4，故选C.6直线yx1被抛物线y24x截得的线段的中点坐标是_解析：将yx1代入y24x，整理，得x26x10.由根与系数的关系，得x1x26，3，2.所求点的坐标为(3，2)答案：(3，2)7.如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处已知灯口直径是26 cm，灯深11 cm，则灯泡与反射镜的顶点的距离为
4、_ cm(精确到0.1 cm)解析：以反射镜的顶点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系(图略)设抛物线的标准方程为y22px(p0)，由题意抛物线经过点(11，13)，代入抛物线方程得1322p11，解得p.所以3.8，即灯泡与反射镜的顶点的距离约为3.8 cm.答案：3.88已知AB是抛物线2x2y的焦点弦，若|AB|4，则AB的中点的纵坐标为_解析：设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线的垂线，垂足分别为A，Q，B.由题意得|AA|BB|AB|4，|PQ|2.又|PQ|y0，所以y02，解得y0.答案：9某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组
5、成，尺寸如图(单位：m)，某卡车载一集装箱，车宽3 m，车与集装箱总高4.5 m，此车能否安全通过隧道？说明理由解：如图，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(3，3)设抛物线的标准方程为x22py(p0)将点A的坐标代入上式，得96p，即2p3.所以抛物线的标准方程为x23y.将x1.5代入抛物线的标准方程，得y0.75，则50.754.254.5.这说明，即使集装箱处于隧道的正中位置，车与集装箱的总高也会高于BD，所以此车不能安全通过隧道10抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标
6、准方程解：如图，依题意可设抛物线的标准方程为y22px(p0)，则直线方程为yxp.设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则由抛物线定义，得|AB|AF|FB|AC|BD|x1x2，即x1x2p8.又A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，由消去y，得x23px0.所以x1x23p，将代入，得p2.所以抛物线的标准方程为y24x.当抛物线方程设为y22px(p0)时，同理可求得抛物线标准方程为y24x.故抛物线的标准方程为y24x或y24x.B级综合运用11过点(2，4)作直线l，与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直
7、线l有()A1条B2条C3条 D4条解析：选B可知点(2，4)在抛物线y28x上，过点(2，4)与抛物线y28x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行12过抛物线y22px(p0)的焦点F作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点A.若|AF|4，则p()A4 B2C1 D.解析：选B作ABx轴，交x轴于点B.设A(x，y)，根据抛物线的定义知|AF|x4.又在RtAFB中，AFB，所以，联立x4，解得p2，故选B.13已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2，2)，则抛物线的方程为_，直线l的方程
8、为_解析：由题意知抛物线的方程为y24x，设直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有且x1x2，两式相减得，yy4(x1x2)，因为AB的中点为(2，2)，所以y1y24，所以1，所以直线l的方程为y2x2，即xy0.答案：y24xxy014已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离解：(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan 60.又F，所以直线l的方程为y.联立消去y得x25x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25.又|AB|
9、AF|BF|x1x2x1x2p，所以|AB|538.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2px1x23，所以x1x26.于是线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x，所以点M到准线的距离为3.C级拓展探究15如图所示，A地在B地东偏北45方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电(1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；(2)问变电房M应建在相对
10、A地的什么位置(方位和距离)，才能使架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度解：(1)如图所示，以过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立直角坐标系，则B(0，2)，A(2，4)因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0，2)为焦点，l为准线的抛物线设抛物线方程为x22py(p0)，则p4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x28y.(2)要使架设电路所用电线长度最短，即|MA|MB|的值最小如图所示，过M作MHl，垂足为H，依题意得|MB|MH|，所以|MA|MB|MA|MH|，故当A，M，H三点共线时，|MA|MH|取得最小值，即|MA|MB|取得最小值，此时M.故变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km处时，所用电线长度最短，最短长度为6 km.