1、第八讲函数的图象知识梳理双基自测知识点函数的图象1利用描点法作函数图象的流程2平移变换yf(x)yf(xa)；yf(x)yf(x)b.3伸缩变换yf(x)yf(x)；yf(x)yAf(x)4对称变换yf(x)y_f(x)_；yf(x)y_f(x)_；yf(x)y_f(x)_.5翻折变换yf(x)y_f(|x|)_；yf(x)y_|f(x)|_.1函数对称的重要结论(1)若f(mx)f(mx)恒成立，则yf(x)的图象关于直线_xm_对称(2)设函数yf(x)定义在实数集上，则函数yf(xm)与yf(mx)(m0)的图象关于直线_xm_对称(3)若f(ax)f(bx)，对任意xR恒成立，则yf(
2、x)的图象关于直线x对称(4)函数yf(ax)与函数yf(bx)的图象关于直线x对称(5)函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线xa对称(6)函数yf(x)与y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)中心对称2函数图象平移变换八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数yf(x1)是由yf(2x)左移1个单位得到()(2)函数yf(1x)的图象，可由yf(x)的图象向左平移1个单位得到()(3)当x(0，)时，函数y|f(x)|与yf(|x|)的图象相同()(4)函数yf
3、(x)与yf(x)的图象关于原点对称()(5)若函数yf(x2)是偶函数，则有f(x2)f(x2)()(6)若函数yf(x)满足f(x1)f(x1)，则函数yf(x)的图象关于直线x1对称()题组二走进教材2(必修1P73T1改编)函数ylogax与函数yx的图象关于_x轴_对称；函数yax与yx的图象关于_y轴_对称；函数ylog2x与函数y2x的图象关于_yx_对称3(必修4P55T2(1)改编)为了得到函数f(x)log2x的图象，只需将函数g(x)log2的图象向_上_平移3个单位将函数f(x)log2x左移2个单位得到解析式为y_log2(x2)_.4(必修1P36T2改编)已知图甲
4、中的图象对应的函数yf(x)，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是(C)Ayf(|x|)By|f(x)|Cyf(|x|)Dyf(|x|)解析由图可知当x0时，yf(x)，故选C题组三走向高考5(2020浙江，4)函数yxcos xsin x在区间，上的图象可能是(A)解析本题考查函数图象的识别设f(x)xcos xsin x，f(x)的定义域为R.因为f(x)xcos(x)sin(x)f(x)，所以f(x)为奇函数，排除选项C，D又f()cos sin 0，排除选项B，故选A6(2015北京，7,5分)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集是
5、(C)Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2解析作出函数ylog2(x1)的图象，如图所示：其中函数f(x)与ylog2(x1)的图象的交点为D(1,1)，结合图象可知f(x)log2(x1)的解集为x|10部分关于y轴的对称部分，即得函数y|x|的图象，如图实线部分(2)先化简，再作图y图象如图实线所示(3)y2，其图象可由y的图象沿x轴向右平移1个单位，再沿y轴向上平移2个单位得到，其图象如图所示(4)利用函数ylog2x的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示名师点拨函数图象的画法(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象
6、的关键点直接作出(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称等变换得到，可利用图象变换作出注：y(c0)的图象是以为对称中心以直线x，y为渐近线的双曲线易错提醒：(1)画函数的图象一定要注意定义域(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响考向2识图与辨图师生共研例2 (1)(2019课标，5,5分)函数f(x)在，的图象大致为(D)(2)下图可能是下列哪个函数的图象(C)Ay2xx21ByCy(x
7、22x)exDy(3)(2021荆州质检)若函数yf(x)的曲线如图所示，则函数yf(2x)的曲线是(C)解析(1)f(x)f(x)，f(x)是奇函数又f()0，选D(2)函数图象过原点，所以D排除；当x0开始时函数值是负数，而B项原点右侧开始时函数值为正数，所以B排除；当x0时，2x1，2xx210即yf(2x)在x1处的函数值大于0，排除A，故选C名师点拨函数图象的识辨可从以下几方面入手(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复(5)从函数的
8、特征点，排除不合要求的图象变式训练1(1)(2019课标，7,5分)函数y在6,6的图象大致为(B)(2)设函数f(x)2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是(C)Ayf(|x|)By|f(x)|Cyf(|x|)Dyf(|x|)(3)已知函数f(x)则函数yf(1x)的大致图象是(D)解析(1)设f(x)(x6,6)，则f(x)f(x)，f(x)为奇函数，排除选项C；当x1时，f(1)0，排除选项D；当x4时，f(4)7.97，排除选项A故选B(2)题图中是函数y2|x|的图象，即函数yf(|x|)的图象，故选C(3)解法一：先画出函数f(x)的草图，令函数f(x)的图象关于y轴对称，得
9、函数f(x)的图象，再把所得的函数yf(x)的图象，向右平移1个单位，得到函数yf(1x)的图象，故选D解法二：由已知函数f(x)的解析式，得yf(1x)故该函数图象过点(0,3)，排除A；过点(1,1)，排除B；在(，0)上单调递增，排除C选D考向3函数图象的应用多维探究角度1函数图象的对称性例3 (1)(2018课标全国，7)下列函数中，其图象与函数yln x的图象关于直线x1对称的是(B)Ayln(1x)Byln(2x)Cyln(1x)Dyln(2x)(2)已知函数f(2x1)是奇函数，则函数yf(2x)的图象关于下列哪个点成中心对称？(C)A(1,0)B(1,0)CD解析(1)本题考查
10、函数图象的对称性解法一：yln x图象上的点P(1,0)关于直线x1的对称点是它本身，则点P在yln x图象关于直线x1对称的图象上，结合选项可知，B正确故选B解法二：设Q(x，y)是所求函数图象上任一点，则其关于直线x1的对称点P(2x，y)在函数yln x图象上yln(2x)故选B(2)f(2x1)是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而f(2x)的图象是由f(2x1)的图象向右平移个单位得到的，故关于点成中心对称小题巧解用特殊点的对称性解决函数图象的对称性问题角度2利用函数图象研究函数性质例4 已知函数f(x)，则下列结论正确的是(B)A函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称B函数f
11、(x)在(，1)上是减函数C函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线ABx轴D函数f(x)的图象关于直线x1对称解析因为y2.所以该函数图象可以由y的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称，在(，1)上为减函数，B正确，A、D错误；易知函数f(x)的图象是由y的图象平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线ABx轴，C错误故选B角度3利用函数图象研究不等式例5 设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式0的解集为(D)A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(，1)(1，)D(1,0)(0,1)解析f(x)为
12、奇函数，00xf(x)0，由题意可知f(x)的大致图象如图所示，所以所求不等式的解集为(1,0)(0,1)引申若将“奇函数f(x)”改为“偶函数f(x)”，不等式0的解集为_(，1)(0,1)_.名师点拨(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知解析式，易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性(2)利用函数的图象研究不等式思路当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解变式训练2(1)(角度
13、1)已知f(x)ln(1x)，函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(x)的解析式为_g(x)ln(x1)_.(2)(角度1)设函数yf(x)的定义域为实数集R，则函数yf(x1)与yf(1x)的图象关于(D)A直线y0对称B直线x0对称C直线y1对称D直线x1对称(3)(角度2)对于函数f(x)lg(|x2|1)，则下列说法不正确的是(C)Af(x2)是偶函数Bf(x)在区间(，2)上是减函数，在区间(2，)上是增函数Cf(x)没有最小值Df(x)没有最大值(4)(角度3)函数f(x)是定义在4,4上的偶函数，其在0,4上的图象如图所示，那么不等式0，在上，ycos x
14、0.由f(x)的图象知，在上，0.因为f(x)为偶函数，ycos x也是偶函数，所以y为偶函数，所以0的解集为.名师讲坛素养提升利用数形结合思想解题例6 (2016课标，12,5分)已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则(xiyi)(B)A0BmC2mD4m分析分析出函数yf(x)和y的图象都关于点(0,1)对称，进而得两函数图象的交点成对出现，且每一对交点都关于点(0,1)对称，从而得出结论解析解法一：由f(x)2f(x)可知f(x)的图象关于点(0,1)对称，又易知y1的图象关于点(0,1)对称，所
15、以两函数图象的交点成对出现，且每一对交点都关于点(0,1)对称，(xiyi)02m.故选B解法二：特例：令f(x)x1，则m2，又y1y22，选B名师点拨求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结合思想解题，其思维流程一般是：变式训练3函数yln|x1|的图象与函数y2cos x(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于(B)A3B6C4D2解析由图象变换的法则可知，yln x的图象关于y轴对称后的图象和原来的一起构成yln |x|的图象，向右平移1个单位长度得到yln|x1|的图象；y2cos x的周期T2.如图所示，两函数的图象都关于直线x1对称，且有3对交点，每对交点关于直线x1对称，故所有交点的横坐标之和为236.