1、核心素养测评四十六直线的斜率与直线方程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为,且sin +cos =0,则a,b满足()A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0 D.a-b=0【解析】选D.因为sin +cos =0,所以tan =-1.又因为为倾斜角,所以斜率k=-1.而直线ax+by+c=0的斜率k=-,所以-=-1,即a-b=0.2.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2),若直线l:mx+y+1=0与线段PQ有交点,则实数m的取值范围是()A.B. (-,-2C.D.2,+)【解析】选D.l:mx+y+1=0可写成
2、y=-mx-1,即l过定点R(0,-1),直线PR的斜率k1=-2,直线QR的斜率k2=.因为直线l与线段PQ有交点,所以斜率k或k-2.又因为k=-m,所以m-或m2.3.过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线方程为()A.3x+4y+15=0B.3x+4y+6=0C.3x+y+6=0D.3x-4y+10=0【解析】选A.设所求直线的斜率为k,依题意k=-,又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.4.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是()A.-1k1或k1或k或k-1【
3、解析】选D.设直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-,则-31-或k-1.5.如果AC0,且BC0,那么直线 Ax+By+C=0不通过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.由题意知,A,B同号,所以直线Ax+By+C=0的斜率k=-0,所以,直线不通过第三象限.6.(多选)(2020无锡模拟)若直线过点A(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线l的方程可能为()A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.2x-y=0D.x-y-1=0【解析】选ABC.当直线经过原点时,斜率为k=2,所求的直线方程为y=2x,即
4、2x-y=0;当直线不过原点时,设所求的直线方程为xy=k,把点A(1,2)代入可得1-2=k,或1+2=k,求得k=-1,或k=3,故所求的直线方程为x-y+1=0,或x+y-3=0;综上知,所求的直线方程为 2x-y=0,x-y+1=0或x+y-3=0.7.直线l经过点A(-2,1),B(-1,m2)(mR)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围为 ()A.B.C.D.【解析】选B.设直线的倾斜角为,则tan =-1+m2-1,又因为0,所以0或0,且a1),当x1,方程y=ax+表示的直线是()【解析】选C.因为f(x)=ax,且x1,所以0a1.又因为y=ax+在x轴、y轴上的截距分别为-
5、和,且|-|,故C项图符合要求.4.(10分)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(aR).(1)若l在两坐标轴上截距相等,求l的方程;(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.【解析】(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,所以a=2,方程即为3x+y=0.当直线不经过原点时,截距存在且均不为0.所以=a-2,即a+1=1.所以a=0,方程即为x+y+2=0.综上,l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,所以或所以a-1.综上可知a的取值范围是(-,-1.5.(10分)(2020成都模拟)已知直线l1:y=2x+4,直
6、线l2经过点(2,1).(1)若l1l2,求直线l2的方程.(2)若l2与两坐标轴的正半轴分别交于P,Q两点,求OPQ面积的最小值(其中O为坐标原点).【解析】(1)由题意,可设直线l2的方程为y=-x+b,由直线l2经过(2,1)点,可得b=2,即直线l2的方程为y=-x+2(或写成:x+2y-4=0).(2)方法一:由题意可知,直线l2的斜率存在且小于0,设为k(k0),即l2:y-1=k(x-2).令x=0,可得l2与y轴的交点为Q(0,-2k+1),令y=0,可得l2与x轴的交点为P,其中k0,b0,则l2:+=1.因为直线l2经过点(2,1),故+=1,由基本不等式:1=+2(当且仅当a=4,b=2时等号成立),可得ab8,所以SOPQ=ab4,即OPQ面积的最小值为4.