1、核心素养测评七十三 离散型随机变量及其分布列（含超几何分布）(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.将一颗骰子均匀掷两次,随机变量为()A.第一次出现的点数B.第二次出现的点数C.两次出现点数之和D.两次出现相同点的种数【解析】选C.A、B中出现的点数虽然是随机的,但它们取值所反映的结果,都不是本题涉及试验的结果.D中出现相同点数的种数就是6种,不是变量.C整体反映两次投掷的结果,可以预见两次出现数字的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,这十一种结果,但每掷一次前,无法预见是十一种中的哪一个,故是随机变量.2.甲同学骑自行车上学的路上经过5个设有红绿灯的路口,
2、记他遇到红灯的次数为,则()A.表示他在第一个路口遇到红灯B.表示他在最后一个路口遇到红灯C.的取值为0,1,2,3,4,5D.的取值为1,2,3,4,5【解析】选C.因为他遇到红灯的次数为,所以=1表示他遇到红灯的次数为1,可能是第一个路口,有可能是其他的路口,所以A错误; =5表示他遇到红灯的次数为5,也就是在5个路口都遇到了红灯,所以B错误;因为他遇到红灯的次数可能是5,4,3,2,1,0,所以C正确;因为=0表示5个路口都是绿灯,所以D错误.3.甲乙两个同学在篮球场上练习定点投篮,甲先投,乙接着投,再由甲投,而后乙投,依次轮流下去,直到有人投中为止,设两个人投篮的总的次数为,则事件“乙
3、投篮的次数为5”可以表示为()A.=5B.=10C.=10或=11D.=11或=12【解析】选C.由题意,=10表示乙第5次投篮,且乙投中,练习结束,=11表示乙第5次投篮,且乙没有投中,由甲投中,练习结束.所以事件“乙投篮的次数为5”可以表示为 =10或=11.4.有20件产品,其中15件合格品,5件次品.现从中任意选取10件产品,用X表示这10件产品中的次品的件数,下列概率中等于的是()A.P(X3)B.P(X=3)C.P(X=7)D.P(X7)【解析】选B.B中P(X=3)=,因为X5,所以C中P(X=7)=0,D中P(X7)=1.A中P(X3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
4、+P(X=3),所以只有B正确.5.袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球,分别标有数字1,2,3,4,5,现从中任意抽取2个,设两个球上的数字之积为X,则X所有可能值的个数是()A.6 B.7 C.10D.25【解析】选C.X的所有可能值有12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,共计10个.6.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中随机地选出3个数,设这三个数的最小值为,则事件“=2”包含的基本事件数有_个()A.21 B.42C.56D.84【解析】选A.因为选出3个数的最小值为,所以事件“=2”包含基本事件数等于从3,4,5,6,7,8,9这7个数字中选出2个数字的组合
5、数=21.7.已知一个离散型随机变量X的分布列为X192021P则+的最小值为 ()A.13B.25C.50D.100【解析】选C.由已知和分布列的性质得01,01,+=,所以=13+13+2=25,所以+50,当且仅当=,即3=2时取等号,又因为+=,所以=,=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.随机变量的分布列为-10123P0.16a20.3则常数a=_.【解析】由离散型随机变量的分布列的性质有:0.16+a2+0.3=1.解得a=-(舍)或a=.答案:9.甲乙两个小朋友玩掷骰子游戏,记他们掷出的点数之差的绝对值为X,若P的值最大,则k的值为_【解析】因为X的取值可以是0,1,2,3
6、,4,5,基本事件空间中有36个基本事件,X=0包含6个基本事件,X=1包含10个基本事件,X=2包含8个基本事件,X=3包含6个基本事件,X=4包含4个基本事件,X=5包含2个基本事件,所以P的值最大时,X=1,即k的值为1.答案:110.设随机变量的概率分布为P=,k=1,2,3,4,则常数a=_.【解析】因为+=1,所以=1,所以a=.答案: (15分钟35分)1.(5分)个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个,其中白球4个.从中任取两个,则概率为的事件是()A.没有白球 B.至少有一个白球C.至少有一个红球 D.至多有一个白球【解析】选B.为只有一个白球的概率, 为有两个白球的概率.
7、2.(5分)若离散型随机变量的分布列为3579Pa2则事件“1,不合题意,舍去.把c=代入得3-8c=,所以c=.4.(10分)有编号为1,2,3,n的n个学生,入座编号为1,2,3,n的n个座位,每个学生规定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,已知X=2时,共有6种坐法.(1)求n的值.(2)求随机变量X的分布列.【解析】(1)因为当X=2时,有种坐法,所以=6,即=6,n2-n-12=0,解得n=4或n=-3(舍去),所以n=4.(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,由题意知X的可能取值是0,2,3,4,所以P(X=0)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=1-=,所以随机变量X的分布列为X0234P5.(10分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会. (1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列.【解析】(1)由题得:P(A)=.(2)X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.所以X的分布列为:X012P