1、2.9 函数模型及其应用考点一利用图象刻画实际问题1.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳【解析】选A.由题图可知,2014年8月到9月的月接待游客量在减少,则A选项错误,故选A.2.如图所示,一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是a(m)(0a12)、4 m,
2、不考虑树的粗细,现在用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花园ABCD.设此矩形花园的面积为S(m2),S的最大值为f(a),若将这棵树围在花园内,则函数u=f(a)的图象大致是() 【解析】选C.设BC=x m,则DC=(16-x)m,由得ax12.矩形面积S=x(16-x)=64.当x=8时取等号.当08时,由于函数在a,12上为减函数,所以当x=a时,矩形面积取最大值Smax=f(a)=a(16-a).3.某地一年的气温Q(t)(单位:)与时间t(月份)之间的关系如图所示,已知该年的平均气温为10,令C(t)表示时间段0,t的平均气温,下列四个函数图象中,最能表示C(t)与t之间的函
3、数关系的是()【解析】选A.若增加的数大于当前的平均数,则平均数增大;若增加的数小于当前的平均数,则平均数减小.因为12个月的平均气温为10,所以当t=12时,平均气温应该为10,故排除B;因为在靠近12月份时其温度小于10,因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10,排除C;6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值,故平均气温不可能出现先减小后增加的情况,故排除D.4.(2020镇江模拟)某罐头加工厂库存芒果m(kg),今年又购进n(kg)新芒果后,欲将芒果总量的三分之一用于加工芒果罐头.被加工为罐头的新芒果最多为f1(kg),最少为f2(kg),则下列选项中最能准确描述f1,f
4、2分别与n的关系的是 ()【解析】选A.要使得被加工为罐头的新芒果最少,尽量使用库存芒果,即当m,n2m时,f2=0,当n2m时,f2=-m=0,对照图象舍去C,D;要使得被加工为罐头的新芒果最多,则尽量使用新芒果,即当n,n时f1=,当n,n时f1=n,因为2m,所以A符合题意.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.考点二已知函数模型求解实际问题【典例】1.某产品的
5、总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0x240,xN*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台2.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)=已知某家庭2016年前三个月的煤气费如表:月份用气量煤气费一月份4 m34元二月份25 m314元三月份35 m319元若四月份该家庭使用了20 m3的煤气,则其煤气费为()A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元3.某农场种植一种农作物,为了解该农作物的产量情况,现将近四年的年产
6、量f(x)(单位:万斤)与年份x(记2015年为第1年)之间的关系统计如下:x1234f(x)4.005.627.008.86则f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b;f(x)=2x+a;f(x)=x2+b.则你认为最适合的函数模型的序号是_.【解题导思】序号联想解题1由销售收入不小于总成本,想到销售收入总成本2由f(x)的解析式考虑用待定系数法求A,B,C的值3由三个模拟函数选择,想到逐个验证求解【解析】1.选C.设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000(0x240,xN*).令f(x)0,得x150,所以生
7、产者不亏本时的最低产量是150台.2.选A. 根据题意可知f(4)=C=4,f(25)=C+B(25-A)=14,f(35)=C+B(35-A)=19,解得A=5,B=,C=4,所以f(x)=所以f(20)=4+(20-5)=11.5.3.若模型为,则f(1)=2+a=4,解得a=2,于是f(x)=2x+2,此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与表格中的数据相差太大,不符合;若模型为,则f(1)=1+b=4,解得b=3,于是f(x)=x2+3,f(2)=7,f(3)=12,f(4)=19,此时,与表格中的数据相差太大,不符合;若模型为,则根据表中数据得解得a=,b=,经检验是最适
8、合的函数模型.答案:求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.1.(2020中山模拟)据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:min)为f(x)=(A,c为常数).已知某工人组装第4件产品用时30 min,组装第A件产品用时15 min,那么c和A的值分别是()A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16【解析】选D.由题意可知4A,则解得2.已知一容器中有A,B两种菌,且在任何时刻A,B两种菌的个数乘积均为定值1
9、010,为了简单起见,科学家用PA=lg nA来记录A菌个数的资料,其中nA为A菌的个数,现有以下几种说法:PA1;若今天的PA值比昨天的PA值增加1,则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10;假设科学家将B菌的个数控制为5万,则此时5PA5.5(注:lg 20.3).则正确的说法为_.(写出所有正确说法的序号)【解析】当nA=1时,PA=0,故错误;若PA=1,则nA=10,若PA=2,则nA=100,故错误;B菌的个数为nB=5104,所以nA=2105,所以PA=lg nA=lg 2+5.又因为lg 20.3,所以5PA0)的函数模型称为“对勾”函数模型,“对勾”函数模型的单调区间及最值如
10、下(1)该函数在(-,-和,+)上单调递增,在-,0)和(0,上单调递减.(2)当x0时,x=时取最小值2,当x2 000,可得lg 1.3+nlg 1.12lg 2,所以n0.050.19,得n3.8,即n4,所以第4年,即2022年全年投入的科研经费开始超过2 000万元,故选C.每年投入的科研经费比上一年增长12%,说明每年经费是上一年的多少倍?提示:说明每年经费是上一年的1.12倍.对勾函数模型及其应用【典例】为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层,体育馆要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位
11、:cm)满足关系:C(x)=(0x10,k为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.【解析】(1)当x=0时,C=8,所以k=40,所以C(x)=(0x10),所以f(x)=6x+=6x+(0x10).(2)由(1)得f(x)=2(3x+5)+-10.令3x+5=t,t5,35,则y=2t+-102-10=70(当且仅当2t=,即t=20时等号成立),此时x=5,因此f(x)的最小值为70.所以隔热层修建5 cm厚时,总费用f(x)达到最小
12、,最小值为70万元.对勾函数求最值应注意什么?提示:对勾函数求最值一定要注意该函数的单调性,然后再求最值.分段函数模型及其应用【典例】(2020宿迁模拟)大气温度y()随着距离地面的高度x(km)的增加而降低,当在高度不低于11 km的高空时气温几乎不变.设地面气温为22,大约每上升1 km大气温度降低6,则y关于x的函数关系式为_.【解析】由题意知,y是关于x的分段函数,x=11为分界点,易得其解析式为y=答案:y=实际问题中分段函数的适用条件是什么?提示:实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车计价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解.1.
13、要制作一个容积为16 m3,高为1 m的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是_元.【解析】设长方体容器底面矩形的长、宽分别为x m,y m,则y=,所以容器的总造价为z=2(x+y)110+20xy=20+2016,由基本不等式得,z=20+201640+320=480,当且仅当x=y=4,即底面是边长为4 m的正方形时,总造价最低.答案:4802.(2019北京高考)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进
14、行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付_元;在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为_.【解析】价格为60+80=140元,达到120元,少付10元,所以需支付130元.设促销前总价为a元,a120,李明得到金额l(x)=(a-x)80%0.7a,0x120,即x恒成立,又最小值为=15,所以x最大值为15.答案:130151.(2019深圳模拟)某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同
15、;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知本年9月份两食堂的营业额又相等,则本年5月份 ()A.甲食堂的营业额较高B.乙食堂的营业额较高C.甲、乙两食堂的营业额相同D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高【解析】选A.设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x,由题意可得,m+8a=m(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额y1=m+4a,乙食堂的营业额y2=m(1+x)4=,因为-=(m+4a)2-m(m+8a)=16a20,所以y1y2,故本年5月份甲食堂的营业额较高.2.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(xN*)件.当x20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元,则y与x的函数关系式为_,该工厂的年产量为_件时,所得年利润最大(年利润=年销售总收入-年总投资).【解析】年销售总收入减去年总投资即可得到年利润,年总投资为(x+100)万元,故函数关系式为y=当020时,y140.故年产量为16件时,年利润最大.答案:y=16