1、圆锥曲线与方程(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1抛物线y2x2的焦点坐标是()A.B.C. D.解析：选C抛物线的标准方程为x2y，焦点在y轴上，焦点坐标为.2(2019全国卷)双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为()A2sin 40 B2cos 40C D解析：选D由题意可得tan 130，所以e .故选D.3设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|F1F2|2，则该椭圆的方程为()A.1 B.y21C.y21 D.y21
2、解析：选A|BF2|F1F2|2，a2c2，a2，c1，b.椭圆的方程为1.4黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写几何原本时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数已知双曲线1的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则实数m的值为()A22 B.1C2 D2解析：选A在双曲线1中，a2(1)2，b2m，所以c2a2b2(1)2m.因为双曲线的实
3、轴长与焦距的比值为黄金分割数，则，所以，所以，解得m22.故选A.5已知双曲线1(b0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为yx，点P(，y0)在双曲线上，则等于()A12 B2C0 D4解析：选C由渐近线方程为yx，知双曲线是等轴双曲线，所以双曲线方程是x2y22，于是两焦点分别是F1(2，0)和F2(2，0)，且P(，1)或P(，1)不妨取点P(，1)，则(2，1)，(2，1)所以(2，1)(2，1)(2)(2)10.6设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5 B6C7 D8解析：选D过点(2，0)且斜率为的直线的方程为y(x2
4、)，由消y得x25x40，解得x1或x4，所以或不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以(0，2)，(3，4)，所以8.故选D.7.我们把由半椭圆1(x0)与半椭圆1(xbc0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点若F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为()A.，1 B.，1C5，3 D5，4解析：选A|OF2|，|OF0|c|OF2|，b1，a2b2c21，得a.8.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1x轴，PF2AB，则此椭圆的离心率是()A. B.C. D.解析：选B由题意设椭圆方程
5、为1(ab0)，则点P的坐标为，A(a，0)，B(0，b)，F2(c，0)，于是kAB，kPF2，由kABkPF2得b2c，故ac，e.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9已知曲线C：mx2ny21，则下列说法正确的有()A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若mn0，则C是圆，其半径为C若mn0，则C是两条直线解析：选ACD对于选项A，mn0，00，方程mx2ny21可变形为x2y2，该方程表示半径为的圆，错误；对于选项C，mn0，方程mx2ny21变形为ny21y
6、，该方程表示两条直线，正确综上选A、C、D.10已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选BD因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以解得a5，b225169.所以当椭圆焦点在x轴时，椭圆方程为1；当椭圆焦点在y轴时，椭圆方程为1.11已知椭圆C1：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点若F1PF2，则下列各项正确的是()A.2 Be1e2Cee Dee1解析：选BD因为0且|，所
7、以MF1F2为等腰直角三角形设椭圆的半焦距为c，则cba，所以e1.在焦点三角形PF1F2中，F1PF2，设|PF1|x，|PF2|y，双曲线C2的实半轴长为a，则故xyc2，故(xy)2x2y2xyxy，所以(a)2，即e2，故，e1e2，ee2，ee1，故选B、D.12设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2.若曲线上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线的离心率等于()A. B2C. D.解析：选AC设圆锥曲线的离心率为e，由|PF1|F1F2|PF2|432，知若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，得e；若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，得e.综上，所求的离心率为或.故选A
8、、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13以双曲线1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_解析：双曲线焦点(4，0)，顶点(2，0)，故椭圆的焦点为(2，0)，顶点(4，0)故椭圆方程为1.答案：114已知二次曲线1，当m2，1时，该曲线的离心率的取值范围是_解析：m2，1，曲线方程化为1，曲线为双曲线，e.m2，1，e.答案：，15抛物线y28x的焦点到双曲线1渐近线的距离为_，双曲线右焦点到抛物线准线的距离为_解析：抛物线y28x的焦点F(2，0)，双曲线1的一条渐近线方程为yx，即3x4y0，则点F(2，0)到渐近线3x4y0的距离为.双曲线右焦点的
9、坐标为(5，0)，抛物线的准线方程为x2，所以双曲线右焦点到抛物线准线的距离为7.答案：716已知双曲线1(a0，b0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为_解析：由题意可得e2，则c2a，其中一个焦点为F(c，0)，渐近线方程为bxay0，所以b1，又c24a2a2b2，所以a2，所以所求双曲线的方程为3x2y21.答案：3x2y21四、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)命题p：方程1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程1表示双曲线(1)若命题p为真命题，求m的取值范围；(2)若命题q为假命题，
10、求m的取值范围解：(1)根据题意，得解得0m2，故命题p为真命题时，m的取值范围为(0，2)(2)若命题q为真命题，则(m1)(m1)0，解得1m1，故命题q为假命题时，m的取值范围为(，11，)18(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程解：依题意，设抛物线的方程为y22px(p0)，点P在抛物线上，62p.p2，所求抛物线的方程为y24x.双曲线的左焦点在抛物线的准线x1上，c1，即a2b21，又点P在双曲线上，1，解方程组得或(舍去)所求双曲线的方程
11、为4x2y21.19(本小题满分12分)给出下列条件：焦点在x轴上；焦点在y轴上；抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2；抛物线的准线方程是x2.对于顶点在原点O的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y24x，并说明理由解：因为抛物线C：y24x的焦点F(1，0)在x轴上，所以条件适合，条件不适合又因为抛物线C：y24x的准线方程为：x1，所以条件不适合题意当选择条件时，|AF|xA1112，此时适合题意故选择条件时，可得抛物线C的方程是y24x.20(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为yx，且过点(4，)
12、(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求.解：(1)双曲线的一条渐近线方程为yx，设双曲线方程为x2y2(0)把(4，)代入双曲线方程得42()2，6，所求双曲线方程为1.(2)由(1)知双曲线方程为1，双曲线的焦点为F1(2，0)，F2(2，0)点M在双曲线上，32m26，m23.(23，m)(23，m)(3)2(2)2m2330.21(本小题满分12分)设F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果2，求椭圆C的方程解：(1)设焦距为2c，由已知可得
13、F1到直线l的距离c2，故c2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意知y10，y20，直线l的方程为y(x2)联立得(3a2b2)y24b2y3b40.解得y1，y2.因为2，所以y12y2，即2，得a3，而a2b24，所以b，故椭圆C的方程为1.22(本小题满分12分)已知椭圆1(ab0)的离心率e，过点A(0，b)和B(a，0)的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(1，0)，若直线ykx2(k0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由解：(1)直线AB的方程为：bxayab0.依题意解得椭圆方程为y21.(2)假设存在这样的k值，由得(13k2)x212kx90.(12k)236(13k2)0.解得k1或k1.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.要使以CD为直径的圆过点E(1，0)，当且仅当CEDE时成立，则1.即y1y2(x11)(x21)0.(k21)x1x2(2k1)(x1x2)50.将式代入整理解得k.经验证k使成立综上可知，存在k，使得以CD为直径的圆过点E.
