1、综合提升A级基础巩固1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量D1A,D1C,A1C1是()A.有相同起点的向量B.等长向量C.共面向量D.不共面向量解析:因为D1C-D1A=AC,且AC=A1C1,所以D1C-D1A=A1C1,即D1C=D1A+A1C1.又因为D1A与A1C1不共线,所以D1A,D1C,A1C1三向量共面.答案:C2.在四面体OABC中,空间的一点M满足OM=14OA+16OB+OC,若MA,MB,MC共面,则=()A.12B.13C.512D.712解析:由MA,MB,MC共面,知14+16+=1,解得=712.故选D.答案:D3.已知两非零向量e1,e2,且e1
2、与e2不共线,若a=e1+e2(,R,且2+20),则下列三个结论有可能正确的是.(填序号)a与e1共线;a与e2共线;a与e1,e2共面.解析:当=0时,a=e2,故a与e2共线.同理当=0时,a与e1共线.由a=e1+e2(,R,且2+20),知a与e1,e2共面.4.如图所示,已知A,B,C三点不共线,P为一定点,O为平面ABC外任一点,下列能表示向量OP的为.(填序号)OA+2AB+2AC;OA-3AB-2AC;OA+3AB-2AC;OA+2AB-3AC.解析:因为A,B,C,P四点共面,所以可设AP=xAB+yAC,即OP=OA+xAB+yAC,由题图可知x=3,y=-2.5.如图所
3、示,四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且CF=23CB,CG=23CD.求证:四边形EFGH是梯形.证明:因为E,H分别是边AB,AD的中点,所以AE=12AB,AH=12AD,所以EH=AH-AE=12AD-12AB=12BD.因为FG=CG-CF=23CD-23CB=23(CD-CB)=23BD,所以EH=34FG,所以EHFG,|EH|=34|FG|,所以E,F,G,H四点共面.又因为点F不在EH上,所以四边形EFGH是梯形.B级拓展提高6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M为空间任意两点,如果PM=PB1+7BA+6A
4、A1-4A1D1,那么点M必()A.在平面BAD1内B.在平面BA1D内C.在平面BA1D1内D.在平面AB1C1内解析:因为PM=PB1+7BA+6AA1-4A1D1=PB1+BA+6BA1-4A1D1=PB1+B1A1+6BA1-4A1D1=PA1+6(PA1-PB)-4(PD1-PA1)=11PA1-6PB-4PD1,所以M,B,A1,D1四点共面,故选C.答案:C7.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若AC1=xAB+2yBC+3zC1C,则x+y+z=76.解析:如图所示,有AC1=AB+BC+CC1=AB+BC-C1C.又因为AC1=xAB+2yBC+3zC1C,所以x=1
5、,2y=1,3z=-1,解得x=1,y=12,z=-13.所以x+y+z=1+12-13=76.8.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EFAB,AB=2EF,H为BC的中点.求证:FH平面EDB.证明:因为H为BC的中点,所以FH=12(FB+FC)=12(FE+EB+FE+ED+DC)=12(2FE+EB+ED+DC).因为EFAB,CDAB,且AB=CD,AB=2EF,所以2FE+DC=0,所以FH=12(EB+ED)=12EB+12ED.因为EB与ED不共线,所以由共面向量定理知FH,EB,ED共面.因为FH平面EDB,所以FH平面EDB.9.如图所示,若P为ABCD
6、所在平面外一点,H为PC上的点,且PHHC=12,点G在AH上,且AGAH=m,若G,B,P,D四点共面,求m的值.解:因为AB=PB-PA,AB=DC,所以DC=PB-PA.因为PC=PD+DC,所以PC=PD+PB-PA=-PA+PB+PD.因为PHHC=12,所以PH=13PC,所以PH=13(-PA+PB+PD)=-13PA+13PB+13PD.又因为AH=PH-PA,所以AH=-43PA+13PB+13PD.因为AGAH=m,所以AG=mAH=-4m3PA+m3PB+m3PD,因为BG=-AB+AG=PA-PB+AG,所以BG=1-4m3PA+m3-1PB+m3PD.又因为G,B,P,D四点共面,所以1-4m3=0,解得m=34.C级挑战创新10.多空题在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为矩形ABCD的对角线的交点,若A1E=A1A+xA1B1+yA1D1,则x=12,y=12.解析:由题意知,A1E=A1A+AB+BC+CE=A1A+AB+BC+12CA=A1A+AB+BC+12(CB+CD)=A1A+AB-12DC+BC-12BC=A1A+12AB+12BC=A1A+12A1B1+12A1D1,所以x=12,y=12.