1、第四节函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用1函数yAsin(x)的有关概念yAsin(x) (A0，0)振幅周期频率相位初相ATfx2.用五点法画函数yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画函数yAsin(x)(A0，0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x02xyAsin(x)0A0A0五点法作图的步骤用“五点法”作函数yAsin(x)的简图，精髄是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为.3由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的两种方法两种变换的联
2、系与区别联系：两种变换方法都是针对x而言的，即x本身加减多少，而不是x加减多少区别：先平移变换(左右平移)再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换(左右平移)，平移的量是个单位小题查验基础一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致()(2)把函数ysin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为ysinx.()(3)函数yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()(4)由图象求函数解析式时，振幅A的大小是由一个周期内
3、图象中最高点的值与最低点的值确定的()答案：(1)(2)(3)(4)二、选填题1函数y2sin的振幅、频率和初相分别为()A2，B2，C2， D2，解析：选A由振幅、频率和初相的定义可知，函数y2sin的振幅为2，频率为，初相为.2为了得到函数y2sin的图象，可以将函数y2sin 2x的图象()A向右平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度解析：选A函数y2sin2sin，可由函数y2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到3用五点法作函数ysin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是_、_、_、_、_.答案：4.函数yAsin(x)(A，为常数，A0
4、，0)在闭区间，0上的图象如图所示，则_.答案：35将函数y2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数解析式为_解析：函数y2sin的最小正周期为，将函数y2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得函数为y2sin2sin.答案：y2sin典例精析某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x02xf(x)Asin(x)0550(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将函数yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到函数yg(x)的图象若函数yg(x)图象的一个对称中心为，求的最小值；(3
5、)作出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象解(1)根据表中已知数据，解得A5，2，数据补全如下表：x02xf(x)Asin(x)05050且函数f(x)的解析式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，则g(x)5sin.因为函数ysin x图象的对称中心为(k，0)，kZ，令2x2k，kZ，解得x，kZ.由于函数yg(x)的图象关于点成中心对称，所以令，kZ，解得，kZ.由0可知，当k1时，取得最小值.(3)由数据作出函数f(x)在区间上的图象如图所示，解题技法函数yAsin(x)(A0，0)的图象变换的的注意点常规法主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移值得注意的是，对
6、于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换自变量x，如果x的系数不是1，那么需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向过关训练1(2017全国卷)已知曲线C1：ycos x，C2：ysin，则下面结论正确的是()A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得
7、到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2解析：选D易知C1：ycos xsin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数ysin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数ysinsin的图象，即曲线C2.故选D.2若0，函数ycos的图象向右平移个单位长度后与函数ysin x的图象重合，则的最小值为_解析：将函数ycos的图象向右平移个单位长度，得到函数ycos的图象因为所得函数图象与函数ysin x的图象重合，所以2k(kZ)，解得6k(kZ)，因为0，所以当k1时，取得最小值.答案：典例精析例1已知函数f(x)Asin(x)(A0，0,0)，其部分图象如图
8、所示，则函数f(x)的解析式为()Af(x)2sinBf(x)2sinCf(x)2sinDf(x)2sin解析由题图可知，函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点，最低点，所以函数的最大值为2，即A2.由图象可得直线x，x为相邻的两条对称轴，所以函数的最小正周期T24，故4，解得.所以f(x)2sin.把点代入可得2sin2，即sin1，所以2k(kZ)，解得2k(kZ)又0，所以.所以f(x)2sin.答案B例2如果存在正整数和实数使得函数f(x)sin2(x)的图象如图所示(图象经过点(1,0)，那么的值为_解析因为f(x)sin2(x)cos2(x)，所以函数f(x)的最小正周期T，由题图
9、知1，且1，即T2，所以，又因为为正整数，所以的值为2.答案2解题技法确定函数yAsin(x)B(A0，0)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A，B.(2)求，确定函数的周期T，则.(3)求，常用方法有代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口过关训练1.函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则f的值为()ABC D1解析：选D由图象可得A，最小正周期T4，则2.又fsin，|，得，则f(x)sin，fsinsin1，故选D.2(2018
10、咸阳三模)已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为()Af(x)2sinBf(x)2sinCf(x)2sinDf(x)2sin解析：选D由图象可得，A2，T26(2)16，所以.所以f(x)2sin.由函数的对称性得f(2)2，即f(2)2sin2，即sin1，所以2k(kZ)，解得2k(kZ)因为|，所以.故函数f(x)的解析式为f(x)2sin.典例精析据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)Asin(x)B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元，则7月份的出厂价格为_元解析作出函
11、数简图如图所示，三角函数模型为：yf(x)Asin(x)B，由题意知：A2 000，B7 000，T2(93)12，.将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有3，0，故f(x)2 000sinx7 000(1x12，xN*)f(7)2 000sin7 0006 000.故7月份的出厂价格为6 000元答案6 000解题技法三角函数模型在实际应用中的2种类型及其解题策略(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系；(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模过关训练
12、1.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为_解析：设水深的最大值为M，由题意结合函数图象可得解得M8，即水深的最大值为8.答案：82某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数yaAcos(x1,2,3，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ，12月份的月平均气温最低为18 ，则10月份的月平均气温为_.解析：由题意得即所以y235cos，令x10，得y20.5.答案：20.5典例精析已知函数f(x)sin(0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若将f(x)的
13、图象向左平移m(m0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点，求当m取得最小值时，g(x)在上的单调递增区间解(1)由函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，得函数f(x)的最小正周期T2，解得1，故函数f(x)的解析式为f(x)sin.(2)将f(x)的图象向左平移m(m0)个单位长度得到函数g(x)sinsin的图象，根据g(x)的图象恰好经过点，可得sin0，即sin0，所以2mk(kZ)，m(kZ)，因为m0，所以当k0时，m取得最小值，且最小值为.此时，g(x)sin.因为x，所以2x.当2x，即x时，g(x)单调递增，当2x，即x时，g(x)单调递增综上，g(x)在区间上
14、的单调递增区间是和.解题技法三角函数图象和性质综合问题的解题策略(1)图象变换问题先根据和、差角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数yAsin(x)t或余弦型函数yAcos(x)t的形式，再进行图象变换(2)函数性质问题求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：利用公式T(0)求周期；根据自变量的范围确定x的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数yAsin(x)t或yAcos(x)t的单调区间过关训练(2019济南模拟)已知函数f(x)sinb.(1)若函数f(x)的图象关于直
15、线x对称，且0,3，求函数f(x)的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当x时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围解：(1)函数f(x)sinb，且函数f(x)的图象关于直线x对称，2k(kZ)，且0,3，1.由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，函数f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)由(1)知f(x)sinb.x，2x.当2x，即x时，函数f(x)单调递增；当2x，即x时，函数f(x)单调递减又f(0)f，当f0f或f0时，函数f(x)有且只有一个零点，即sinbsin或1b0，b.故实数b的取值范围为. 一、题点全面练1(2019益阳、湘潭调研)要得到函数f(x)
16、sin 2x，xR的图象，只需将函数g(x)sin，xR的图象()A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位解析：选D由于把函数ysin 2x，xR的图象向左平移个单位，可得ysinsin的图象，故为了得到函数f(x)sin 2x，xR的图象，只需把g(x)sin，xR的图象向右平移个单位即可，故选D.2.(2018济宁期末)函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则将yf(x)的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为()Aysin BysinCysin 2x Dycos 2x解析：选B由题中图象知A1，记函数f(x)的最小正周期为T，则T，T，2
17、，由sin1，|得，f(x)sin，将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为ysinsin，故选B.3.(2019赣州质检)设0，函数ysin(x)()的图象向左平移个单位后，得到如图所示的图象，则，的值为()A2， B2，C1， D1，解析：选A函数ysin(x)()的图象向左平移个单位后可得ysin.由函数的图象可知，T.根据周期公式可得2，ysin.由图知当y1时，x，函数的图象过，sin1.，.故选A.4(2019长沙模拟)已知函数f(x)2sin(x)1，f()1，f()1，若|的最小值为，且f(x)的图象关于点对称，则函数f(x)的单调递增区间是()A.，
18、kZB.，kZC.，kZD.，kZ解析：选B由题意可知f(x)的最小正周期T4|min43，则3，因为f(x)的图象关于点对称，所以2sin11，即sin0.因为|，所以，则f(x)2sin1.令2kx2k，kZ，解得3kx3k，kZ，所以函数f(x)的单调递增区间是，kZ.5.(2018福州三校联考)如图是函数f(x)Asin(x)图象的一部分，对任意的x1，x2a，b，且x1x2，若f(x1)f(x2)，有f(x1x2)1，则的值为()A. B.C. D.解析：选B从题图可得A2，x1，x2关于函数f(x)图象的对称轴是对称的，即直线x是f(x)图象的一条对称轴，且f2，可得2sin2，可
19、得2k，kZ，f(x1x2)1，2sin(x1x2)1，可得(x1x2)2k或2k，kZ，令k0，由得或，|，.6(2019湖北天门、仙桃、潜江联考)函数f(x)Asin(x)(A0，0)的图象如图所示，则f(1)f(2)f(3)f(18)的值等于_解析：由题图知A2，624，T8，则.f(x)2sin.又函数图象过点(2,2)，2sin2，2k(kZ)，则2k(kZ)，f(x)2sinx.f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(8)0，f(1)f(2)f(3)f(18)2f(1)2f(2)2f(8)f(1)f(2)f(1)f(2)2.答案：27设函数f(x)2sin(x)
20、，若f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，则_.解析：由f(x)的最小正周期大于2，得.又f2，f0，得，所以T3，则3，所以f(x)2sin(x)2sin.由f2sin2sin1，所以2k，kZ.又|，取k0，得.答案：8.(2019武汉调研)函数f(x)Acos(x)(0)的部分图象如图所示，给出以下结论：f(x)的最小正周期为2；f(x)图象的一条对称轴为直线x；f(x)在，kZ上是减函数；f(x)的最大值为A.则正确的结论为_(填序号)解析：由题图可知，函数f(x)的最小正周期T22，故正确；因为函数f(x)的图象过点和，所以函数f(x)图象的对称轴为直线xk(kZ)，故直线x不是
21、函数f(x)图象的对称轴，故不正确；由图可知，当kTxkT(kZ)，即2kx2k(kZ)时，f(x)是减函数，故正确；若A0，则最大值是A，若A0，则最大值是A，故不正确答案：9已知函数f(x)Asin(x)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递增区间解：(1)依题意得A5，周期T4，2.故f(x)5sin(2x)，又图象过点P，5sin0，由已知可得k，kZ，|，f(x)5sin.(2)由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，故函数f(x)的单调递增区间为(kZ)10设函数f(x)sinsin，其中03，且f0.(1)求；(2
22、)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的最小值解：(1)因为f(x)sinsin，所以f(x)sin xcos xcos xsin xcos xsin.因为f0，所以k，kZ.故6k2，kZ.又03，所以2.(2)由(1)得f(x)sin，所以g(x)sinsin.因为x，所以x，当x，即x时，g(x)取得最小值.二、专项培优练(一)交汇专练融会巧迁移1与新定义交汇定义运算adbc.将函数f(x)的图象向左平移(0)个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小值为()A. B.C. D.解析：选Df
23、(x)cos xsin x2cos，向左平移个单位得到y2cos，由题意知y2cos是偶函数，所以k(kZ)，即k(kZ)因为0，所以当k1时，的最小值为.2与立体几何交汇如图，将绘有函数f(x)sin(0)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若A，B之间的空间距离为，则f(1)()A1 B1C D.解析：选D由题设并结合图形可知AB ，得4，则，所以函数f(x)sin，所以f(1)sinsin.3.与导数交汇已知函数f(x)sin(x)的导函数yf(x)的部分图象如图所示，且导函数f(x)有最小值2，则_，_.解析：f(x)cos(x)，由题图可知2，则f(x)2cos(2x)又f2cos1，
24、且|，所以.答案：2(二)素养专练学会更学通4.数学运算函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；(2)若方程f(x)2cosa有实数解，求a的取值范围解：(1)由图可得A2，所以T，所以2.当x时，f(x)2，可得2sin2，因为|，所以.所以函数f(x)的解析式为f(x)2sin.令2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)图象的对称中心为(kZ)(2)设g(x)f(x)2cos，则g(x)2sin2cos2sin2，令tsin，t1,1，记h(t)4t22t242，因为t1,1，所以h(t)，即g(x)，故a.故a的取值范围为.
25、5数学建模、数学运算已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(0t24，单位：h)的函数，记作yf(t)下表是某日各时的浪高数据：t(h)03691215182124y(m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yAcos tb(A0，0)的图象根据以上数据，(1)求函数f(t)的解析式；(2)求一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25 m的时间解：(1)由表格得解得又因为T12，所以，故yf(t)cost1.(2)由题意，令cost11.25，即cost，又因为t0,24，所以t0,4，故0t或t或t4，即0t2或10t14或22t24，所以在一日内该海滨浴场的海浪高度超过1.25 m的时间为8小时
