1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。9.1.1正 弦 定 理必备知识自主学习1.三角形的面积公式若记ABC的面积为S,则S=absin C=acsin B=bcsin A.2.正弦定理文字语言在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等.符号语言=(1)正弦定理常见的变形式:sin Asin Bsin C=abc;=2R;a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;sin A=,sin B=,sin C=.(2)利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题:已知两角和任意一边,求其他两边
2、和第三个角;已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而求出其他的边和角.正弦定理的主要功能是什么?提示:实现三角形中边角关系的转化.3.解三角形我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素.已知三角形的若干元素,求其他元素,一般称为解三角形.若已知三角形的两边及其中一边所对的角,三角形的解是否唯一?提示:不一定唯一,也可能不存在.1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)正弦定理适用于任意三角形()(2)在ABC中,等式bsin A=asin B总能成立()(3)在ABC中,已知a,b,A,则此三角形有唯一解()提示:(1).正弦定理适用于任意三角形.(2).由正弦定理知=,即bsin
3、 A=asin B.(3).在ABC中,已知a,b,A,此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况,具体情况由a,b,A的值来定.2.在ABC中,已知A=30,B=60,a=10,则b等于()A.5B.10C.D.5【解析】选B.由正弦定理得b=10.3.(教材二次开发:例题改编)在ABC中,a=2,b=2,B=45,则A等于()A.30或150B.60C.60或120D.30【解析】选C.根据正弦定理=,可得=,解得sin A=,故可得A为60或120;又ab,则AB,显然两个结果都满足题意.4.在ABC中,AB=4,B=,点D在边BC上,ADC=,CD=2,则AD=;ACD的面积为.【解析
4、】因为ADC=,所以ADB=,在ABD中,由正弦定理得=,AD=4.在ACD中,SACD=ADDCsinCDA=42=2.答案:42关键能力合作学习类型一利用正弦定理解三角形(数学运算)【典例】(1)在ABC中,已知a=8,B=60,C=75,求A,b,c.(2)在ABC中,c=,C=60,a=2,求A,B,b.【思路导引】(1)先求角A,再利用正弦定理求解.(2)利用正弦定理求角A,再求B和b.【解析】(1)A=180-(B+C)=180-(60+75)=45,由正弦定理=,得b=4,由=,得c=4.(2)因为=,所以sin A=.所以A=45或A=135.又因为ca,所以CA.所以A=45
5、.所以B=75,b=+1.1.已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角.(2)由正弦定理公式的变形,求另外的两条边.2.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边所对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一.(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.1.(2020天津高一检测)在ABC中,若b=,c=3,B=30,则sin C=()A.B.C.D.1【解析】选B.根据正
6、弦定理=,解得sin C=.2.(2020遂宁高一检测)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=3,B=,tan A=,则a的值是()A.10B.2C.D.【解析】选B.由已知tan A=,又sin2A+cos2A=1,且A为锐角得sin A=,由正弦定理=得,a=sin A=2.类型二三角形的面积问题(数学运算)【典例】三角形的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos(A-C)+cos B=1,a=2c.(1)求C角的大小;(2)若a=,求ABC的面积.【思路导引】(1)化简cos(A-C)+cos B=1,结合正弦定理求出角C.(2)利用(1)的结果求出A和B,用三角形
7、的面积公式计算.【解析】(1)因为A+B+C=180,所以cos(A+C)=-cos B,因为cos(A-C)+cos B=1,所以cos(A-C)-cos(A+C)=1,展开得:cos Acos C+sin Asin C-(cos Acos C-sin Asin C)=1,所以2sin Asin C=1.因为a=2c,根据正弦定理得:sin A=2sin C,代入上式可得:4sin2C=1,所以sin C=,所以C=30.(2)由(1)sin A=2sin C=1,所以A=90.因为a=,C=30,所以c=,B=60.所以SABC=acsin B=.三角形面积问题的求解方法对于面积公式S=a
8、bsin C=acsin B=bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.1.(2020金华高一检测)在ABC中,AB=,AC=1,B=,则ABC的面积是()A.B.C.或D.或【解析】选C.=,所以sin C=,C=或.(1)当C=时,A=-(B+C)=,所以SABC=ABACsin A=;(2)当C=时,A=-(B+C)=,所以SABC=ABACsin A=.2.(2020佛山高一检测)在ABC中,已知b=5,A=60,SABC=5,则c等于()A.4B.16C.21D.【解析】选A.因为b=5,A=60,SABC=5,所以SABC=bcsin A,所以5sin 60c=5,解得c
9、=4.类型三正弦定理的综合应用(逻辑推理)角度1判断三角形的形状【典例】在ABC中,已知=,且sin2A+sin2B=sin2C.求证:ABC为等腰直角三角形.【思路导引】利用正弦定理,把条件中的角转化为边,再利用勾股定理的逆定理判断.【证明】因为=,所以=,又因为=,所以=,所以a2=b2,即a=b,设=k(k0),则sin A=,sin B=,sin C=,又因为sin2A+sin2B=sin2C,所以+=,即a2+b2=c2,所以ABC为等腰直角三角形.把本例的条件改为:acos=bcos,试判断ABC的形状.【解析】【法一化角为边】因为acos=bcos,所以asin A=bsin B
10、.由正弦定理可得:a=b,所以a2=b2,所以a=b,所以ABC为等腰三角形.【法二化边为角】因为acos=bcos,所以asin A=bsin B.由正弦定理可得:2Rsin2A=2Rsin2B,即sin A=sin B,所以A=B.(A+B=不合题意舍去)故ABC为等腰三角形.利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边.将题目中的所有条件,利用正弦定理化角为边,再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系,如a=b,a2+b2=c2等,进而确定三角形的形状.利用的公式为:sin A=,sin B=,sin C=.(2)化边为角.将题目中所有的条件,利用正弦定理化边为角,
11、再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系,进而确定三角形的形状.利用的公式为:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.角度2最值或范围问题【典例】在锐角ABC中,角A,B,C分别对应边a,b,c,且a=2bsin A,求cos A+sin C的取值范围.【思路导引】利用正弦定理,把cos A+sin C转化为一个角的函数,利用三角函数的性质求解.【解析】在锐角ABC中,根据正弦定理,a=2Rsin A,b=2Rsin B,其中R为外接圆半径.因为a=2bsin A,所以2Rsin A=4Rsin Bsin A,所以sin B=.因为ABC为锐角三角形,所以B=.令y=co
12、s A+sin C=cos A+sin-(B+A)=cos A+sin=cos A+sincos A+cossin A=cosA+sin A=sin.由锐角ABC知,-BA,所以A.所以A+,所以sin,所以sin,即y.所以cos A+sin C的取值范围是.三角综合问题的求解策略利用正弦定理求三角函数式的最值或范围的关键是根据已知条件,灵活运用正弦定理及三角基本关系式,对边角关系进行相互转化,借助三角恒等变换解决问题.1.(2020雅安高一检测)设在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C
13、.钝角三角形D.不确定【解析】选B.因为bcos C+ccos B=asin A,所以由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,sin=sin2Asin A=sin2A,所以sin A=1,A=,所以ABC是直角三角形.2.(2020大连高一检测)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,tan A=,则的取值范围是()A.(2,+)B.(2,4)C.D.【解析】选B.因为tan A=,所以cos2A+cos Ccos A=sin2A+sin Asin C,cos2A-sin2A=-(cos Acos C-sin Asin C),cos 2A=-
14、cos(A+C),可得:cos 2A=cos B,所以在锐角ABC中,2A=B,因为A+B+C=,可得3A+C=,C,所以A=,可得sin A,因为a=2,所以=(2,4).【补偿训练】(2020合肥高一检测)在ABC中,角A,B,C对应的边是a,b,c且满足b(1+cos C)=2acos C+ccos A,则该三角形为()A.等腰三角形B.等腰或直角三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形【解析】选B.由题b(1+cos C)=2acos C+ccos A,根据正弦定理得sin B(1+cos C)=2sin Acos C+sin Ccos A,sin B+sin Bcos C=sin Ac
15、os C+sin Acos C+sin Ccos A,sin B+sin Bcos C=sin Acos C+sin,A+C=-B,sin Bcos C=sin Acos C,sin B=sin A或cos C=0,所以A=B或C=,所以三角形为等腰三角形或直角三角形.备选类型三角形解的个数及有关问题(逻辑推理)【典例】(2020重庆高一检测)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=,acos C=csin A,若当a=x0时的ABC有两解,则x0的取值范围是()A.B.C.D.【思路导引】利用正弦定理边角互化思想求得C=,根据ABC有两解可得出asin Cca,进而可求得x0的
16、取值范围.【解析】选C.因为acos C=csin A,由正弦定理边角互化思想得sin Acos C=sin Asin C,因为0A0,得sin C=cos C,则tan C=1,因为0C,所以C=.因为c=,且ABC有两解,所以asin Cca,即x0x0,解得x02.因此x0的取值范围是.三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边,求另两边和另一角,此时有唯一解,三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角,此时可能出现一解、两解或无解的情况,三角形不能被唯一确定,现以已知a,b和A解三角形为例说明.图形关系式解的个数A为锐角a=b sin A;ab一解bsin Aab两
17、解absin A无解已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答.(1)a=10,b=20,A=80.(2)a=2,b=6,A=30. 【解析】(1)a=10,b=20,ab,A=8020sin 60=10,所以absin A,所以本题无解.(2)a=2,b=6,ab,A=30bsin A,所以bsin Aab,所以三角形有两解.由正弦定理得sin B=,又因为0B180,所以B1=60,B2=120.当B1=60时,C1=90,c1=4;当B2=120时,C2=30,c2=2.所以B1=60时,C1=90,c1=4;B2=120时,C2=30,c2=2.课堂检测
18、素养达标1.在ABC中,下列式子与的值相等的是()A.B.C.D.【解析】选C.由正弦定理得=,所以=.2.在ABC中,A=30,a=3,b=2,则这个三角形有()A.一解B.两解C.无解D.无法确定【解析】选A.因为ba,A=30,所以Bb,且B(0,),所以B=,所以A=,所以S=bcsin A=22sin =22=+1.答案:+14.(教材二次开发:练习改编)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若bsin A=asin C,c=1,则b=,ABC面积的最大值为.【解析】因为bsin A=asin C,所以由正弦定理可得ba=ac,所以b=c=1;所以SABC=bcsin
19、A=sin A,当sin A=1,即A=90时三角形面积最大.答案:1课时素养评价一正 弦 定 理 (15分钟30分)1.(2020遂宁高一检测)在ABC中,a=20,A=45,B=75,则边c的长为()A.10B.10C.15D.15【解析】选B.由已知C=180-A-B=180-45-75=60,由正弦定理=得c=sin C=10.【补偿训练】已知ABC的面积为4,且2sin Asin B=sin C,则AB的长为()A.4B.2C.2D.【解析】选A.因为2sin Asin B=sin C,由正弦定理得2BCsin B=AB,又BCABsin B=4,所以AB2=16,得AB=4.2.在
20、ABC中,若=,则C的值为()A.30B.45C.60D.90【解析】选B.由正弦定理得=,则cos C=sin C,即C=45.3.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=1,b=,B=60,则ABC的面积为()A.B.C.1D.【解析】选B.因为a=1,b=,B=60,所以由正弦定理可得:sin A=,因为ab,A60,所以A=30,C=180-A-B=90,所以SABC=ab=1=.4.在ABC中,若a=2bsin A,则B=()A.B.C.或D.或【解析】选C.由正弦定理得2Rsin A=22Rsin Bsin A,所以sin B=.又因为B(0,),所以B=或.5.AB
21、C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b=,c=3,则A=.【解析】由正弦定理得sin B=,结合bb,所以AB,又因为A=60,所以B为锐角.所以cos B=.2.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C等于()A.B.-C.D.【解析】选A.方法一:因为在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,所以8sin B=5sin C=5sin2B=10sin Bcos B,所以cos B=,又因为B为三角形内角,所以sin B=.所以sin C=sin 2B=2=.又因为cos Bcos 45,
22、所以B45,C=2BB.0x2C.x2D.x2【解析】选C.由正弦定理得sin B=,因为A=60,所以0B120,要使此三角形有两解,则60B120,且B90,即sin B1,所以1,解得x2.4.(2020南昌高一检测)在ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若acos C+ccos A=2bcos B,且cos 2B+2sin Asin C=1,则a-2b+c=()A.B.C.2D.0【解析】选D.因为acos C+ccos A=2bcos B,所以由正弦定理可得sin Acos C+sin Ccos A=2sin Bcos B,即sin=sin B=2sin Bcos B
23、,因为sin B0,所以cos B=,B=.因为cos 2B+2sin Asin C=1,所以2sin Asin C=1-cos 2B=2sin2B=,sin Asin C=,cos=cos Acos C-sin Asin C=-cos B=-,所以cos Acos C=,cos=cos Acos C+sin Asin C=+=1,A-C=0,A=C,又因为A+C=-B=,所以A=C=B=a=b=c,所以a-2b+c=0.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.(2020如东高一检测)在ABC中,根据下列条件解三角形,其中有一解的是()A.b=
24、7,c=3,C=30B.b=5,c=4,B=45C.a=6,b=3,B=60D.a=20,b=30,A=30【解析】选BC.A. b=7,c=3,C=30,=,故sin B=,无解.B.b=5,c=4,B=45,=,故sin C=,cb,故Ca,故BA,有两解.6.(2020涟水高一检测)已知ABC的面积为,且b=2,c=,则A=()A.30B.60C.150D.120【解析】选BD.因为S=bcsin A=,所以2sin A=,所以sin A=,因为0A180,所以A=60或120.【补偿训练】在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin 2C=tan A,则下列结论中错误的是(
25、)A.ABC可能是直角三角形B.角B可能是钝角C.必有A=2BD.可能有a=2b【解析】选BC.依题意得2sin Ccos C=(2-=cos C(1-2cos C),整理得cos C2(sin Acos C+cos Asin C)- sin A=0,即cos C(2sin B-sin A)=0,所以cos C=0或sin A=2sin B.因此当cos C=0时,ABC是直角三角形,故A选项正确;而当sin A=2sinB时,由正弦定理可得a=2b,因此选项D正确;选项C错误;无论是cos C=0还是sin A=2sin B,均可得角B为锐角,故B错误.三、填空题(每小题5分,共10分)7.
26、在ABC中,A=60,B=45,a+b=12,则a=.【解析】因为=,所以=,所以b=a,又因为a+b=12,由可知a=12(3-).答案:12(3-)【补偿训练】在ABC中,若A=120, AB=5,BC=7,则sin B=.【解析】由正弦定理得=,即sin C=.可知C为锐角,所以cos C=.所以sin B=sin(180-120-C)=sin(60-C)=sin 60cos C-cos 60sin C=.答案:8.(2020会宁高一检测)在ABC中,A=60,a=6,b=12,SABC=18,则=,c=.【解析】由正弦定理,=,可得=12,由于a=6,b=12,SABC=18,则SAB
27、C=absinC=612sin C=18,即有sin C=,再由正弦定理,=,可得c=6.答案:126四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A-C=90,a+c=b,求C.【解析】由A-C=90,得A为钝角且sin A=cos C,利用正弦定理,a+c=b可变形为sin A+sin C=sin B,又因为sin A=cos C,所以sin A+sin C=cos C+sin C=sin(C+45)=sin B,又A,B,C是ABC的内角,故C+45=B或(C+45)+B=180(舍去),所以A+B+C=(90+C)+(C+45)+C=18
28、0.所以C=15.10.在ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=.(1)求角B的大小;(2)求cos2-sin cos 的取值范围.【解析】(1)由=得到=即2sin Acos B=sin,即2sin Acos B=sin A,又因为A为三角形内角,所以sin A0,所以cos B=,从而B=.(2)cos2-sincos=-sin A=cos C-sin+=cos C-sin C+=cos+,因为0C,所以C+,所以-cos,所以cos+.所以cos2-sincos的取值范围为.1.在ABC中,若b=5,B=,tan A=2,则sin A=,a=.【解析】由tan A=2,
29、得sin A=2cos A,由sin2A+cos2A=1及0A,得sin A=,因为b=5,B=,由正弦定理=,得a=2.答案:22.如图所示,D是RtABC的斜边BC上一点,AB=AD,记CAD=,ABC=.(1)求证:sin +cos2=0.(2)若AC=DC,求的值.【解析】(1)在RtABC中,因为AB=AD,所以ADB=ABC=.因为=-BAD=-(-2)=2-,所以sin =sin,即sin =-sin.所以sin =-cos2,所以sin +cos2=0.(2)在ADC中,根据正弦定理,=.又AC=DC,ADC=-,所以=,所以sin =sin .由(1)知:sin =-cos2,所以sin =-cos2.所以2sin2-sin -=0,解得sin =或-.因为0,所以sin =,所以=.关闭Word文档返回原板块