1、第二节参数方程A组基础题组1.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为x=-8+t,y=t2(t为参数),曲线C的参数方程为x=2s2,y=22s(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.解析易知直线l的普通方程为x-2y+8=0.因为点P在曲线C上,所以可设P(2s2,22s),从而点P到直线l的距离d=|2s2-42s+8|12+(-2)2=2(s-2)2+45.当s=2时,dmin=455.因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值455.2.已知曲线C的参数方程为x=6cos,y=4sin(为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲
2、线C上的点按坐标变换x=13x,y=14y得到曲线C.(1)求曲线C的普通方程;(2)若点A在曲线C上,点D(1,3),当点A在曲线C上运动时,求AD的中点P的轨迹方程.解析(1)将x=6cos,y=4sin代入x=13x,y=14y,得曲线C的参数方程为x=2cos,y=sin,曲线C的普通方程为x24+y2=1.(2)设点P(x,y),A(x0,y0),D(1,3),且AD的中点为P,x0=2x-1,y0=2y-3,又点A在曲线C上,(2x-1)2+4(2y-3)2=4,动点P的轨迹方程为(2x-1)2+4(2y-3)2=4.3.(2018合肥第一次质量检测)在平面直角坐标系xOy中,曲线
3、C1:x=3cos,y=2sin(为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:-2cos =0.(1)求曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1上有一动点M,曲线C2上有一动点N,求|MN|的最小值.解析(1)由-2cos =0得2-2cos =0.2=x2+y2,cos =x,x2+y2-2x=0,即曲线C2的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.(2)由(1)可知,圆C2的圆心为C2(1,0),半径为1.设曲线C1上的动点M(3cos ,2sin ),由动点N在圆C2上可得|MN|min=|MC2|min-1.|MC2|=(3cos-1)2+4sin2=5cos2-6
4、cos+5,当cos =35时,|MC2|min=455,|MN|min=|MC2|min-1=455-1.4.(2018昆明高三摸底调研)在平面直角坐标系xOy中,已知倾斜角的直线l过点A(2,1).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为=2sin ,直线l与曲线C分别交于P,Q两点.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若|PQ|2=|AP|AQ|,求直线l的斜率k.解析(1)直线l的参数方程为x=2+tcos,y=1+tsin(t为参数).曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,得t2+(
5、4cos )t+3=0,由=(4cos )2-430,得cos2 34,由根与系数的关系,得t1+t2=-4cos ,t1t2=3,由参数的几何意义知,|AP|=|t1|,|AQ|=|t2|,|PQ|=|t1-t2|,由题意知,(t1-t2)2=t1t2,则(t1+t2)2=5t1t2,得(-4cos )2=53,解得cos2=1516,满足cos234,所以sin2=116,tan2=115,所以直线l的斜率k=tan =1515.B组提升题组1.(2018课标全国,22,10分)在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为x=cos,y=sin(为参数),过点(0,-2)且倾斜角为的直线l与O
6、交于A,B两点.(1)求的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.解析(1)O的直角坐标方程为x2+y2=1.当=2时,l与O交于两点.当2时,记tan =k,则l的方程为y=kx-2.l与O交于两点当且仅当21+k21,解得k1,即4,2或2,34.综上,的取值范围是4,34.(2)l的参数方程为x=tcos,y=-2+tsint为参数,434.设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=tA+tB2,且tA,tB满足t2-22tsin +1=0.于是tA+tB=22sin ,tP=2sin .又点P的坐标(x,y)满足x=tPcos,y=-2+tPsin.所以点P的轨迹的参数方程是x=22sin2,y=-22-22cos2为参数,40,即a0,t1+t2=22,t1t2=2-8a,根据参数方程中参数的几何意义可知|PA|=|t1|,|PB|=|t2|,由|PA|=2|PB|得t1=2t2或t1=-2t2,当t1=2t2时,有t1+t2=3t2=22,t1t2=2t22=2-8a,解得a=1360,符合题意,当t1=-2t2时,有t1+t2=-t2=22,t1t2=-2t22=2-8a,解得a=940,符合题意.综合上所述,a=136或a=94.
