1、25等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和目标 1.体会等比数列前n项和公式的推导过程；2.记住等比数列的前n项和公式，并能进行熟练计算；3.会用等比数列的前n项和公式解答一些简单的等比数列前n项和问题重点 等比数列前n项和公式及应用难点 等比数列前n项和公式的推导知识点一等比数列的前n项和公式 填一填答一答1等比数列求和时，能否直接运用公式Sn或Sn？提示：不能运用公式Sn或Sn的前提是公比q1，所以对含有参数的等比数列求和时，应首先判断该数列的公比是否为1.若公比为1，则应按常数列求和，Snna1；若不能判断公比的值，则应分类讨论2数列a，a2，a3，an，的前n项和是多少？提示：当
2、a1时，Snn；当a1时，Sn.知识点二 等比数列前n项和公式的推导错位相减法 填一填一般地，对于等比数列a1，a2，a3，an，它的前n项和是Sna1a2a3an.根据等比数列的通项公式，上式可写成Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1，的两边同乘以q，得qSna1qa1q2a1q3a1qn1a1qn，用的两边分别减去的两边，得(1q)Sna1a1qn.当q1时，等比数列的前n项和公式为Sn.因为a1qn(a1qn1)qanq，所以上面的公式还可以写成Sn.当q1时，数列an即为常数列a1，a1，a1，a1，易得它的前n项和Snna1.答一答3“错位相减法”适用于什么样的数列求和？提示：
3、它适用于求一个等差数列与一个等比数列的积组成的新数列的前n项的和，它也是等比数列求和公式推导的思想方法类型一等比数列前n项和的计算例1(1)已知在等比数列an中，a12，S36，求a3和q.(2)在等比数列an中，Sn为其前n项和，公比为q，若Sn189，q2，an96，求a1和n.分析运用等比数列的前n项和公式Sn解(1)若q1，则S33a16，符合题意此时，a3a12；若q1，则由等比数列的前n项和公式，得S36，解得q1(舍去)或q2.此时，a3a1q22(2)28.综上所述，q1，a32或q2，a38.(2)方法一：Sn(q1)，189，a13，又ana1qn1，9632n1，即2n1
4、32，则n6.方法二：由Sn，ana1qn1以及已知条件得a12n192，即2n，189a1(2n1)a1，a13，2n132，n6.若不讨论公比q是否为1，就直接使用了等比数列的前n项和公式Sn，有可能出现漏解的情况.在使用等比数列的前n项和公式解题时，若公比q不确定，要注意对公比q是否为1进行讨论.当q1时，Snna1；当q1时，Sn，运用了分类讨论思想.变式训练1在等比数列an中，公比为q，前n项和为Sn.(1)a18，an，Sn，求n.(2)S3，S6，求an及Sn.解：(1)显然q1，Sn，即，q.又ana1qn1，即8n1，n6.(2)由S62S3知q1，由题意得，得1q39，q3
5、8，即q2.代入得a1，ana1qn12n12n2，Sn2n1.类型二错位相减法求和例2设a为不等于零的常数，求数列a,2a2,3a3，nan，的前n项和分析观察数列的通项公式的结构，发现形式为一个等差数列和一个等比数列的乘积，故可采用错位相减法；考虑到通项中有字母，故要分类讨论解若a1，则Sn123nn(n1)；若a1，且a0时，Sna2a23a3(n1)an1nan，aSna22a33a4(n1)annan1，得，SnaSnaa2a3a4annan1nan1，所以Sn.综上，Sn错位相减法适合于数列anbn的求和，其中an为等差数列，bn为等比数列.即一个等差数列和一个等比数列的对应项的积
6、所构成的数列在求和时可以采用此法.具体步骤：当公比q1时，在原式两边同乘等比数列的公比，得到一个新的式子，然后再与原式错位相减即可得到一个可以求和的式子.当公比q1时，可按常数列求和.变式训练2已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)设数列an的公差为d，由已知得解得a13，d1.故an3(n1)(1)4n.(2)由(1)可得bnnqn1，于是Sn1q02q13q2(n1)qn2nqn1.若q1，将两边同乘q，得qSn1q12q23q3(n1)qn1nqn.由得(q1)Snnqn
7、(1qq2qn1)nqn，则Sn.若q1，则Sn123n.所以，Sn类型三等比数列求和的综合应用例3已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)证明：Sn(nN*)分析(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明解(1)设等比数列an的公比为q.2S2，S3,4S4成等差数列，S32S24S4S3，即S4S3S2S4，2a4a3，于是q.又a1，等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.(2)证明：易求得Sn1n，Sn1n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS
8、1.当n为偶数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS2.故对于nN*，有Sn.本题考查了分类讨论思想以及数列单调性的应用.这种方法在数列比较大小和最值问题中是一种常用的思路.变式训练3已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明：是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明：.证明：(1)由an13an1，得an13.a1.所以是首项为，公比为3的等比数列，所以an.所以数列an的通项公式为an.(2)由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是1.所以.1已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项的和等于(B)A31 B33C35 D37解析：S51，1，即a1.S103
9、3.2已知an是由正数组成的等比数列，Sn表示an的前n项的和若a13，a2a4144，则S10的值是(D)A511 B1 023C1 533 D3 069解析：设等比数列an的公比是q，所以a2a4(3q)(3q3)9q4144.所以q416，q2.所以S103 069.3等比数列an的前n项和为Sn，若S33S20，则公比q2.解析：由S33S2，可得a1a2a33(a1a2)，即a1(1qq2)3a1(1q)，化简整理得q24q40，解得q2.4已知等比数列an的前n项和Sn4na，则a的值等于1.解析：等比数列的前n项和SnqnAAqn，a1.5设等比数列an的前n项和为Sn，已知a26,6a1a330，求an和Sn.解：设an的公比为q，由题设得解得或当a13，q2时，an32n1，Sn3(2n1)；当a12，q3时，an23n1，Sn3n1.本课须掌握的两大问题1等比数列前n项和(1)在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比q的讨论(q1或q1)(2)当q1时，若已知a1及q，则用公式Sn较好；若已知an，则用公式Sn较好2错位相减法求和如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式