1、专题强化练8抛物线的综合运用一、选择题1.()过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|的值为()A.10B.8C.6D.42.(2020山东菏泽高二上期末,)抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,其准线与双曲线x24-y22=1的渐近线相交于A、B两点,若ABF的周长为42,则p=()A.2B.22C.8D.43.()已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y12+y22的最小值为()A.12B.24C.16D.324.(2020重庆一中高二上期中,)过抛物线E:y
2、2=2px(p0)的焦点F,作斜率大于0的直线l交抛物线于A,B 两点(A在B的上方),且l与抛物线E的准线交于点C,若CB=3BF,则|AF|BF|=()A.2B.52C.3D.945.(多选)(2020山东师大附中高二上期末,)设抛物线y=ax2(a0)的准线与对称轴交于点P,过点P作抛物线的两条切线,切点分别为A和B,则()A.点P坐标为0,-14aB.直线AB的方程为y=14aC.PAPBD.|AB|=12a二、填空题6.(2020河北石家庄二中高二上期中,)若抛物线过点P(-1,3),则抛物线的标准方程为.7.(2020海南海口海南中学高二上期中,)抛物线y2=2px(p0)上有一点
3、M,它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则此抛物线的方程为.8.(2020河南郑州期末,)斜率为1,且过抛物线y=14x2的焦点的直线被抛物线截得的弦长为.9.()设点P在圆C:x2+(y-6)2=5上,点Q在抛物线x2=4y上,则|PQ|的最小值为.三、解答题10.(2020四川成都高二上期末,)已知动圆M与直线x=-2相切,且与圆(x-3)2+y2=1外切,记动圆M的圆心轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且OAOB=-36(O为坐标原点),证明直线l经过定点H,并求出点H的坐标.11.(2020福建福州高二上期末质量抽测,)在平面直角坐标系Oxy中
4、,点F(1,0),D为直线l:x=-1上的动点,过D作l的垂线,该垂线与线段DF的垂直平分线交于点M,记M的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)若过点F的直线与曲线C交于P,Q两点,直线OP,OQ与直线x=1分别交于A,B两点,试判断以AB为直径的圆是否经过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.答案全解全析一、选择题1.B依题意得,|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2,|AB|=x1+x2+p,又2p=4,p=2.因此,|AB|=6+2=8,故选B.2.A双曲线x24-y22=1的渐近线方程为y=22x,抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-p2,设A在x轴上方,则
5、A-p2,24p,B-p2,-24p,|AB|=22p,|FA|=|FB|=p2+24p2=324p.又ABF的周长为42,|FA|+|FB|+|AB|=324p+324p+22p=42,p=2.3.D当直线的斜率不存在时,其方程为x=4,由x=4,y2=4x,得y1=-4,y2=4,所以y12+y22=32.当直线的斜率存在时,设其方程为y=k(x-4)(k0),由y2=4x,y=k(x-4),得ky2-4y-16k=0,所以y1+y2=4k,y1y2=-16,所以y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=16k2+3232,综上,y12+y2232.所以y12+y22的最小值为32.故
6、选D.4.A由y2=2px(p0)得,Fp2,0.过B作BB1垂直于准线,垂足为B1,则|BF|=|BB1|.由CB=3BF得,|CB|=3|BB1|.因此直线l的斜率为22,从而直线l的方程为y=22x-p2.由y2=2px,y=22x-p2,得2y2-2py-2p2=0,解得yA=2p,yB=-22p,|AF|BF|=|yA|yB|=2p22p=2,故选A.5.ABC由y=ax2得,x2=1ay,则焦点F0,14a.a0,2p=1a,p=12a,其准线方程为x=-14a,P0,-14a,A正确;设切线方程为y=kx-14a(k0),由y=ax2,y=kx-14a,得ax2-kx+14a=0
7、,令=k2-4a14a=0,解得k=1.切点A12a,14a,B-12a,14a,因此直线AB的方程为y=14a,B正确;又PA=12a,12a,PB=-12a,12a,PAPB=-14a2+14a2=0.从而PAPB,即PAPB,C正确;|AB|=12a-12a=1a,D错误.故选ABC.二、填空题6.答案y2=-9x或x2=13y解析由P(-1,3)在第二象限,得抛物线的开口向上或开口向左,设其标准方程为x2=2py或y2=-2px(p0).将P(-1,3)的坐标代入得(-1)2=2p3或32=-2p(-1),解得p=16或p=92,因此所求抛物线的标准方程为x2=13y或y2=-9x.7
8、.答案y2=8x解析过点M作准线l:x=-p2的垂线,垂足为P.设抛物线的焦点为F,依题意得,|MP|=|MF|,即3+p2=5,解得p=4,抛物线的方程为y2=8x.8.答案8解析由抛物线y=14x2得x2=4y,p=2,焦点坐标为(0,1),斜率为1,且过焦点的直线方程为y=x+1,由y=x+1,x2=4y,消去x,得y2-6y+1=0.设该直线与抛物线的交点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1+y2=6,直线被抛物线截得的弦长为y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=6+2=8.9.答案5解析设Q(x,y),其中x2=4y.易知圆心C(0,6),圆的半径r=5,则|Q
9、C|=x2+(y-6)2=4y+(y-6)2=y2-8y+36=(y-4)2+20(y0).当y=4时,|QC|min=25,所以|PQ|min=|QC|min-r=25-5=5.三、解答题10.解析(1)动圆M与直线x=-2相切,且与圆(x-3)2+y2=1外切,动圆M的圆心到点(3,0)的距离与动圆M的圆心到直线x=-3的距离相等.动圆M的圆心的轨迹是以(3,0)为焦点的抛物线.曲线C的方程为y2=12x.(2)直线l与曲线C相交于A,B两点,直线l的斜率不为0.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=ty+m.由x=ty+m,y2=12x,消去x,得y2-12ty-12m
10、=0.=144t2+48m0,即3t2+m0.y1y2=-12m,x1x2=y12y22144=m2.OAOB=-36,x1x2+y1y2=-36.m2-12m+36=0.m=6,满足3t2+m0.直线l的方程为ty+6=x.直线l过定点H(6,0).11.解析解法一:(1)连接MF,则|MD|=|MF|,根据抛物线的定义,得点M的轨迹是以F(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线.则点M的轨迹C的方程为y2=4x.(2)设直线PQ的方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),x10,x20,联立y2=4x,x=my+1,整理得,y2-4my-4=0,=16m2+160,则y1
11、+y2=4m,y1y2=-4.直线OP的方程为y=y1x1x=4y1x,同理,直线OQ的方程为y=4y2x,令x=1,得A1,4y1,B1,4y2,设线段AB的中点T的坐标为(xT,yT),则xT=1,yT=4y1+4y22=2(y1+y2)y1y2=-2m,所以T(1,-2m).因为|AB|=4y1-4y2=|4(y2-y1)|y1y2|=4(y1+y2)2-4y1y24=16m2+16=4m2+1,所以圆的半径r=2m2+1.所以以AB为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+2m)2=4m2+4.展开可得(x-1)2+y2+4my=4,令y=0,可得(x-1)2=4,解得x=3或x=-1.所
12、以以AB为直径的圆经过定点(-1,0)和(3,0).解法二:(1)同解法一.(2)当直线PQ不与x轴垂直时,设其方程为y=k(x-1)(k0),P(x1,y1),Q(x2,y2),由y2=4x,y=k(x-1)得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以=(2k2+4)2-4k4=16k2+160,x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1.所以y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2x1x2-(x1+x2)+1=-4,x2y1+x1y2=kx2(x1-1)+kx1(x2-1)=k2x1x2-(x1+x2)=-4k,直线OP的方程为y=y1x1x,直线OQ的方程为y=y2x2x.令x=1,
13、得A1,y1x1,B1,y2x2,所以以AB为直径的圆的方程为(x-1)2+y-y1x1y-y2x2=0,即(x-1)2+y2-x2y1+x1y2x1x2y+y1y2x1x2=0,即(x-1)2+y2+4ky-4=0,令y=0,可得(x-1)2=4,解得x=3或x=-1.所以以AB为直径的圆经过定点(-1,0)和(3,0).当直线PQ与x轴垂直时,A(1,2),B(1,-2),以AB为直径的圆的方程为(x-1)2+y2=4,也经过点(-1,0)和(3,0).综上,以AB为直径的圆经过定点(-1,0)和(3,0).解法三:(1)同解法一.(2)假设以AB为直径的圆经过定点,由抛物线关于x轴对称可知该定点必在x轴上,设定点为T(t,0),则ATBT=0,设直线PQ的方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立y2=4x,x=my+1,整理得y2-4my-4=0,=16m2+160,则y1+y2=4m,y1y2=-4.直线OP的方程为y=y1x1x=4y1x,同理,直线OQ的方程为y=4y2x,令x=1,得A1,4y1,B1,4y2,则由ATBT=0,可得(t-1)2+16y1y2=0,即(t-1)2-4=0,解得t=3或t=-1,所以以AB为直径的圆经过定点(-1,0)和(3,0).