1、函数的图像 核心考点精准研析 考点一 函数图像的识别与辨析 1.已知 y=f(x)与 y=g(x)的图像如图,则函数 h(x)=f(x)g(x)的图像可以是()2.(2019全国卷)函数 f(x)=在-,的图像大致为()3.(2018全国卷)函数 f(x)=的图像大致为()4.函数 f(x)的部分图像如图所示,则 f(x)的解析式可以是()A.f(x)=x+sin x B.f(x)=C.f(x)=x D.f(x)=xcos x【解析】1.选 A.根据 f(x)和 g(x)的图像,可得 g(x)在 x=0 处无意义,所以函数 h(x)=f(x)g(x)在 x=0 处无意义;因为 f(x)与 g(
2、x)都为奇函数,所以函数 h(x)=f(x)g(x)是偶函数,故排除 D;当 x 取很小的正数时,f(x)0,所以 f(x)g(x)1,f()=0.故选 D.3.选 B.因为 x0,f(-x)=-f(x),所以 f(x)为奇函数,舍去选项 A,因为 f(1)=e-e-10,所以舍去选项 D;因为 f(x)=,所以 x2,f(x)0,所以舍去选项 C.4.选 D.函数为奇函数,排除 C;函数 f(x)=x+sin x 只有一个零点,排除 A;B 选项中 x0,所以 B不正确.辨析函数图像的入手点(1)从函数的定义域,判断图像的左右位置;从函数的值域,判断图像的上下位置.(2)从函数的单调性,判断
3、图像的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图像的对称性.(4)从函数的周期性,判断图像的循环往复.(5)从函数的特征点,排除不合要求的图像.考点二 作函数的图像 【典例】分别作出下列函数的图像:(1)y=|lg x|.(2)y=2x+2.(3)y=x2-2|x|-1.世纪金榜导学号【解题导思】序号 联想解题 (1)由 y=|lg x|,想到 y=lg x 的图像 (2)由 y=2x+2,想到 y=2x的图像以及图像的平移变换 (3)由 y=x2-2|x|-1,想到二次函数的图像以及偶函数图像的特点【解析】(1)y=图像如图所示.(2)将 y=2x的图像向左平移 2 个单位.图像如图所示.(3)
4、y=图像如图所示.作函数图像的两种常用方法(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时,就可根据这些函数的特征直接作出.(2)图像变换法:若函数图像可由某个基本初等函数的图像经过平移、翻折、对称得到,可利用图像变换作出,但要注意变换顺序.1.作出下列各函数的图像:(1)y=x-|x-1|.(2)y=.(3)y=|log2x-1|.【解析】(1)根据绝对值的意义,可将函数式化为分段函数 y=可见其图像是由两条射线组成,如图(1)所示.(2)作出 y=的图像,保留 y=的图像中 x0 的部分,加上 y=的图像中 x0 部分关于 y 轴的对称部分,即得 y=的图像,如图(2)
5、实线部分.(3)先作出 y=log2x 的图像,再将其图像向下平移一个单位,保留 x 轴上方的部分,将 x 轴下方的图像翻折到 x 轴上方,即得 y=|log2x-1|的图像,如图(3)所示.2.为了得到函数 f(x)=log2x 的图像,只需将函数 g(x)=log2 的图像 .【解析】g(x)=log2=log2x-3=f(x)-3,因此只需将函数 g(x)的图像向上平移 3 个单位即可得到函数 f(x)=log2x 的图像.答案:向上平移 3 个单位 考点三 函数图像的应用 命题 精解 读 1.考什么:(1)作函数图像、识别函数图像、由图像求解析式、解方程、解不等式、求参数值等问题.(2
6、)考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.2.怎么考:多以选择、填空题的形式考查,考查学生的数学素养、数形结合思想、灵活运用知识的能力以及分析问题解决问题的能力.3.新趋势:以函数图像与性质为载体,图像与性质、数与形、求参数值或范围交汇考查.学霸 好方 法 1.利用函数的图像研究函数的性质的四种对应关系(1)图像的左右范围对应定义域.(2)上下范围对应值域.(3)上升、下降趋势对应单调性.(4)对称性对应奇偶性 2.利用函数的图像确定方程的根或不等式的解集的方法:(1)方程 f(x)=g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)图像交点的横坐标;(2)不等式 f(x)g(x)的解集是函数 f
7、(x)的图像位于 g(x)图像下方的点的横坐标的集合.利用图像研究函数的性质【典例】已知函数 f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+)B.f(x)是偶函数,递减区间是(-,1)C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)D.f(x)是奇函数,递增区间是(-,0)【解析】选 C.将函数 f(x)=x|x|-2x 去掉绝对值得 f(x)=画出函数 f(x)的大致图像,如图,观察图像可知,函数 f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.利用图像解不等式【典例】已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x0 时,f(x)=x2-x.若 f(
8、a)4+f(-a),则实数 a 的取值范围是 .世纪金榜导学号 【解析】因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),所以 f(a)4+f(-a)可转化为 f(a)2,作出 f(x)的图像,如图:由图易知:a2.答案:(-,2)利用图像确定方程解的个数【典例】(2020沈阳模拟)设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 xR,都有f(x+2)=f(2-x),当 x-2,0时,f(x)=-1,则关于 x 的方程 f(x)-log8(x+2)=0 在区间(-2,6)上根的个数为()世纪金榜导学号 A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选 C.因为对任意的 xR,都有 f(x+2
9、)=f(2-x),所以 f(x)的图像关于直线 x=2 对称,又 f(x)是定义在 R 上的偶函数,所以 f(x+2)=f(2-x)=f(x-2),f(x+4)=f(x),函数 f(x)是周期为4 的函数,则函数 y=f(x)的图像与 y=log8(x+2)的图像交点的个数即方程 f(x)-log8(x+2)=0 根的个数.作出 y=f(x)与 y=log8(x+2)在区间(-2,6)上的图像如图所示,易知两个函数在区间(-2,6)上的图像有 3 个交点,所以方程 f(x)-log8(x+2)=0 在区间(-2,6)上有 3 个根.1.(2020昆明模拟)已知函数 f(x)=则对任意 x1,x
10、2R,若 0|x1|x2|,下列不等式成立的是()A.f(x1)+f(x2)0 C.f(x1)-f(x2)0 D.f(x1)-f(x2)0【解析】选 D.函数 f(x)的图像如图所示.f(-x)=f(x),则函数 f(x)是偶函数,且在0,+)上是增函数.又 0|x1|f(x1),即 f(x1)-f(x2)1.答案:(1,+)3.设函数 f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的 xR,不等式 f(x)g(x)恒成立,则实数 a 的取值范围是 .【解析】如图作出函数 f(x)=|x+a|与 g(x)=x-1 的图象,观察图像可知:当且仅当-a1,即 a-1 时,不等式 f(x)g(x)
11、恒成立,因此 a 的取值范围是-1,+).答案:-1,+)1.已知函数 y=的图像与函数 y=kx 的图像恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是 .【解析】函数 y=的定义域为x|x1,所以当 x1 时,y=x+1,当-1x1 时,y=-x-1,当 x-1 时,y=x+1,图像如图所示,由图像可知当 0k0,所以 f(x)=-x+33,g(x)=log2xR,分别作出函数 f(x)=-x+3 和 g(x)=log2x的图像,结合函数 f(x)=-x+3 和 g(x)=log2x 的图像可知,h(x)=minf(x),g(x)的图像,在这两个函数的交点处 h(x)取得最大值.解方程组得 所以函数 h(x)=minf(x),g(x)的最大值是 1.答案:1