1、课时跟踪检测（四十二） 空间向量及其运算和空间位置关系1在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确命题的个数是()A0B1C2 D3解析：选Aa与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故错误；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表
2、示为pxaybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.2如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()Aabc B.abcCabc D.abc解析：选A()c(ba)abc.3已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若xyz (x，y，zR)，则“x2，y3，z2”是“P，A，B，C四点共面”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B当x2，y3，z2时，232.则23()2()，即32，根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四
3、点共面时，根据共面向量定理，设mn (m，nR)，即m()n()，即(1mn)mn，即x1mn，ym，zn，这组数显然不止2，3,2.故“x2，y3，z2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件4已知a(2,1，3)，b(1,2,3)，c(7,6，)，若a，b，c三向量共面，则()A9 B9C3 D3解析：选B由题意设cxayb，则(7,6，)x(2,1，3)y(1,2,3)，解得9.5(2019东营质检)已知A(1,0,0)，B(0，1,1)，与的夹角为120，则的值为()A BCD解析：选C(1，)，cos 120，得.经检验不合题意，舍去，所以.6在空间四边形ABCD中，则的值为(
4、)A1 B0C1 D2解析：选B法一：如图，令a，b，c，则()()()a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.法二：在三棱锥ABCD中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直所以0，0，0.所以0.7ABC的顶点分别为A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则AC边上的高BD等于_解析：设，D(x，y，z)，则(x1，y1，z2)(0，4，3)，x1，y41，z23，D(1,41,23)，(4,45，3)，4(45)3(3)0，解得，| 5.答案：58已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结
5、论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_解析：2240，APAB，故正确；4400，APAD，故正确；由知AP平面ABCD，故正确，不正确答案：9(2019南昌调研)已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且2，现用基底，表示向量，有xyz，则x，y，z的值分别为_解析：()，x，y，z.答案：，10在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD4，AA12.点M在棱BB1上，且BM2MB1，点S在DD1上，且SD12SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点求证：MN平面RSD.证明：法一：如图所示，建立空间直角坐
6、标系，根据题意得M，N(0,2,2)，R(3，2,0)，S.，.MRS.MNRS.又RS平面RSD，MN平面RSD，MN平面RSD.法二：设a，b，c，则cab，bac，又RMN，MNRS.又RS平面RSD，MN平面RSD，MN平面RSD.11三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，BAC90，A1A平面ABC，A1A，ABAC2A1C12，D为BC中点求证：平面A1AD平面BCC1B1.证明：如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)，D为BC的中点，D点坐标为(1,1,0)(0,0，
7、)，(1,1,0)，(2,2,0)，(0，1，)设平面A1AD的法向量n1(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量为n2(x2，y2，z2)由得令y11，则x11，z10，n1(1，1,0)由得令y21，则x21，z2，n2.n1n21100，n1n2.平面A1AD平面BCC1B1.12如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由解：(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则ACBD.连接SO，由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图设底面边长为a，则高SOa，于是S，D，B，C，则0.故OCSD.从而ACSD.(2)棱SC上存在一点E，使BE平面PAC.理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且，.设t，则t，而0t.即当SEEC21时，.而BE平面PAC，故BE平面PAC.