1、陕西省延安市黄陵中学高新部2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题（每小题5分，12小题共60分）1.设，则下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】对A，时不成立；对B，时不成立；对C，正确；对D，时不正确，故选C.2.若是真命题，是假命题，则A. 是真命题B. 是假命题C. 是真命题D. 是真命题【答案】D【解析】试题分析：因为是真命题，是假命题，所以是假命题，选项A错误，是真命题，选项B错误，是假命题，选项C错误，是真命题，选项D正确，故选D.考点：真值表的应用.【此处有视频，请去附件查看】3.已知双曲线的离心率，且其右焦点,则双
2、曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 由双曲线的离心率，且其右焦点为， 可得，所以， 所求双曲线的方程为，故选B4.曲线在处的切线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出导数，再把代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化为一般式【详解】解：由题意知，在处的切线的斜率，则在处的切线方程是：，即，故选：【点睛】本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线斜率是该点处的导数值，以及直线方程的点斜式和一般式的应用，属于基础题5.若，则等于（ ）A. 0B. 1C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，由导数的定义可得答案【详解】解：根据题意，若，
3、则，即；故选：【点睛】本题考查导数的定义，掌握导数与极限的关系即可6.下列各式正确的是( )A. (a为常数)B. C. D. 【答案】C【解析】由基本的求导公式可得： (a为常数)； ； ； .本题选择C选项.7.已知函数，其导函数的图象如下图所示，则（ ）A. 在上为减函数B. 在处取极小值C. 在上为减函数D. 在处取极大值【答案】C【解析】分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点【详解】解：根据导函数图象可知当时，在时，函数在和上单调递减，在和上单调递增，、为函数的极大值点，为函数的极小值点，则正确的为.故选：【点睛】本题主要考查了导函数图象与函数的性质
4、的关系，以及函数的单调性、极值等有关知识，属于中档题8.若函数在处取得极值，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由在时取得极值，求出得，解出值【详解】解：，；又在时取得极值，；故选：【点睛】本题考查了应用导数求函数极值的问题，是基础题9.（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，故选C.10.由“，”得出：“若且，则”这个推导过程使用的方法是（ ）A. 数学归纳法B. 演绎推理C. 类比推理D. 归纳推理【答案】D【解析】根据部分成立的事实，推断出一个整体性的结论，这种推理是归纳推理中的不完全归纳法，所以选D11.函数在点取极值是的（ ）A. 充分条件B.
5、必要条件C. 充要条件D. 必要非充分条件【答案】A【解析】【分析】函数可导，取极值时导数为0，但导数为0并不一定会取极值【详解】解：若函数在点处可导，且函数在点取极值，则，若，则连续函数在点处不一定取极值，例如：故选：【点睛】本题考查了函数的极值与导数之间的关系，属于基础题12.函数的定义域为，其导函数在的图象如图所示，则函数在内的极小值点共有( )A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】根据极小值点存在的条件，可以判断出函数的极小值的个数【详解】根据极小值点存在条件，在的左侧，在的右侧，可以判断出函数的极小值点共有1个，故选C【点睛】本题主要考查函数图象的应用以及利用导数
6、判断极值点二、填空题（4小题共20分)13.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是 【答案】【解析】在等式中，当时，而等式左边起始为的连续的正整数的和，故时，等式左边的项为，故答案为.14.函数共有_个极值.【答案】0【解析】【分析】对函数求导，结合导数的符号判断函数的单调性，进而可求函数的极值的个数【详解】解：由题知的导函数，恒成立函数在上是单调递增函数，函数没有极值故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，属于基础题15.表示虚数单位，则_.【答案】1【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再利用复数的乘法计算可得【详解】解：且，故答案为：【点睛】本题考查复数
7、的代数形式的乘除运算以及复数的乘方，属于基础题.16. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖 块.【答案】4n+2【解析】解：观察、分析图案，得到规律，第1个、第2个，第3个个图案有白色地板砖分别是6，10，14个，组成一个公差是4，首项为6的等差数列因此第n个图案中有白色地面砖有6+（n-1）4=6+4n-4=4n+2故答案为4n+2三、解答题（6小题共80分)17.已知，是正实数，求证：.【答案】证明见解析【解析】【分析】因为，要证明这个不等式，可将不等式两边同时平方，即可得证.【详解】证明：要证明，只需证明，即，只需证明，即，这显然成立.这样，
8、就证明了.【点睛】本题考查分析法证明不等式，属于基础题.18.点为椭圆上一点，以点以及焦点，为顶点的三角形的面积为1，则点的坐标是？【答案】，.【解析】【分析】根据已知，点是椭圆上的一点，以点以及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，根据该三角形的底边，我们易求出点的横坐标，进而求出点的纵坐标，即可得到答案【详解】、是椭圆的左、右焦点，则，设椭圆上一点，由三角的面积公式可知：，即，将代入椭圆方程得：，解得：，点的坐标为，.【点睛】本题考查的知识点椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，其中判断出以点以及焦点，为顶点的三角形的底边，是解答本题的关键19.计算曲线与直线所围图形的面积【答案】【解析】【详解】试
9、题分析：利用定积分计算曲线所围成面积，先画出图象，再找到图象交点的横坐标，然后写出定积分式子，注意被积函数为上方的图象对应的函数减图象在下方的函数试题解析：由解得从而所求图形的面积考点：定积分20.已知复数，.（1）求及并比较大小；（2）设，满足条件的点的轨迹是什么图形？【答案】(1) =2, =1, (2) 以为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周）【解析】【分析】（1）利用复数的模的计算公式求出、即可解答.（2）根据的几何意义及（1）中所求的模、可知的轨迹.【详解】解：（1），.（2）由及（1）知.因为的几何意义就是复数对应的点到原点的距离，所以表示所表示的圆外部所有点组成的集合
10、，表示所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周），如图所示【点睛】本题考查复数的模及其几何意义，属于基础题.21.已知曲线 y = x3 + x2 在点 P0 处的切线平行于直线4xy1=0，且点 P0 在第三象限,求P0的坐标;若直线, 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.【答案】（1）（2）【解析】【详解】本试题主要是考查了导数的几何意义，两条直线的位置关系，平行和垂直的运用以及直线方程的求解的综合运用首先根据已知条件，利用导数定义，得到点P0的坐标，然后利用，设出方程为x+4y+c=0,根据直线过点P0得到结论解：（1
11、）由y=x3+x-2，得y=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=1当x=1时，y=0；当x=-1时，y=-4又点P0在第三象限，切点P0的坐标为（-1，-4）；（2）直线 ll1，l1的斜率为4，直线l的斜率为-1/ 4 ，l过切点P0，点P0的坐标为（-1，-4）直线l的方程为y+4=（x+1）即x+4y+17=022.已知函数，当时，有极大值3.（1）求该函数的解析式；（2）求函数单调区间.【答案】(1) (2) 单调递增区间为，单调递减区间为，.【解析】【分析】（1）求出，由时，函数有极大值3，所以代入和中得到两个关于、的方程，求出、即可；（2）令解出得到函数的单调增区间，令得
12、到函数的单调减区间；【详解】解：（1），.由题意得：当时，.即，解得，函数的解析式为：.综上所述，结论为：.（2）由题（1）知，令得，令得或，函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为，.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值，属于基础题，准确求导，熟练运算是解决该类问题的基础23.已知曲线（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线过点的切线方程【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）根据曲线的解析式求出导函数，把的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；（2）设出曲线过点切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可.【详解】解：（1），在点处的切线的斜率，曲线在点处的切线方程为，即（2）设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率，切线方程为，即点在该切线上，即，解得或故所求切线方程为或【点睛】本题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题，学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决，属于中档题.