1、函数与方程核心考点精准研析考点一判断函数零点所在区间1.已知实数a1,0b1,则函数f(x)=ax+x-b的零点所在的区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)2.设函数f(x)=x-ln x,则函数y=f(x)()A.在区间,(1,e)内均有零点B.在区间,(1,e)内均无零点C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点3.(2020扬州模拟)设函数y=x2与y=的图像交点为(x0,y0),则x0所在区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4.若ab1,0b1,f(x)=ax+x-b,所以f(
2、-1)=-1-b0,由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点.2.选D.令f(x)=0得x=ln x.作出函数y=x和y=ln x的图像,如图,显然y=f(x)在内无零点,在(1,e)内有零点.3.选B.因为函数y=x2与y=的图像交点为(x0,y0),则x0是方程x2=的解,也是函数f(x)=x2-的零点.因为函数f(x)在(0,+)上单调递增,f(2)=22-1=30,f(1)=1-2=-10,所以f(1)f(2)0.由零点存在性定理可知,方程的解在(1,2)内.4.选A.因为ab0,f(b)=(b-c)(b-a)0,由函数零点存在性定理可知:在区间(a,b),(b,c)内
3、分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点;因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内.确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理.(2)数形结合法.【秒杀绝招】用特殊值法可解T2.考点二确定函数零点的个数【典例】1.函数f(x)=|x-2|-ln x零点的个数为()A.0B.1C.2D.32.(2019全国卷)函数f(x)=2sin x-sin 2x在0,2的零点个数为 ()A.2B.3C.4D.53.已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当x-1,1时,f(x)=2|x|-1,则函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是世纪金榜导
4、学号()A.9B.10C.11D.18【解题导思】序号联想解题1由f(x)=|x-2|-ln x的零点,想到|x-2|=ln x.2由f(x)=2sin x-sin 2x,想到化简,令f(x)=0求sin x与cos x的值.3由F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数,想到f(x)=|lg x|.【解析】1.选C.作出函数y=|x-2|与g(x)=ln x的图像,如图所示.由图像可知两个函数的图像有两个交点,即函数f(x)在定义域内有2个零点.2.选B.令f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0,则sin x=0或cos
5、 x=1,又x0,2,所以x=0,2,共三个零点.3.选B.在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=|lg x|的大致图像如图,由图像可知,它们共有10个不同的交点,因此函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是10.函数零点个数的判断方法(1)直接求零点.(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数.(3)利用函数图像的交点个数判断.1.函数f(x)=3x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.由题意知f(x)单调递增,且f(0)=1+0-2=-10,即f(0)f(1)0且函数f(x)在(0,1)内连续不断,所以f(x)在区间
6、(0,1)内有一个零点.2.(2020上饶模拟)已知函数f(x)=函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为()A.2B.3C.4D.5【解析】选A.由已知条件可得g(x)=3-f(2-x)=函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数y=f(x)与y=g(x)图像的交点个数,在平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=g(x)的图像如图所示.由图可知函数y=f(x)与y=g(x)的图像有2个交点,所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2.3.已知f(x)=则函数y=2f(x)2-3f(x)+1的零点个数是.【解析】由2f(x)2-3f(x)+1=0得f(x)
7、=或f(x)=1,作出函数y=f(x)的图像.由图像知y=与y=f(x)的图像有2个交点,y=1与y=f(x)的图像有3个交点.因此函数y=2f(x)2-3f(x)+1的零点有5个.答案:5考点三函数零点的应用命题精解读1.考什么:(1)由函数的零点有无、个数求参数值或范围、图像的交点、解方程、解不等式等问题.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.2.怎么考:多以选择、填空题的形式考查.3.新趋势:以函数图像与性质为载体,图像与性质、数与形、求参数值或范围交汇考查.学霸好方法已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过
8、解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解.由零点的个数求参数值或范围【典例】已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是世纪金榜导学号()A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+)【解析】选C.画出函数f(x)的图像,y=ex在y轴右侧的图像去掉,再画出直线y=-x,并上下移动,可以发现当直线过点(0,1)时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程f(
9、x)=-x-a有两个解,也就是函数g(x)有两个零点,此时满足-a1,即a-1.已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题的关键是什么?提示:关键是将函数零点个数问题转化为方程解的个数,或两个函数图像交点的个数问题,再去求解.由函数有无零点求参数【典例】若函数f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零点,则实数a的取值范围是.世纪金榜导学号【解析】因为函数f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零点,所以方程4x-2x-a=0在-1,1上有解,即方程a=4x-2x在-1,1上有解.方程a=4x-2x可变形为a=-,因为x-1,1,所以2x,令2x=t,t,a=-,0t-,0,-2,所以a=-的范围为
10、,所以实数a的取值范围是.答案:函数有(或无)零点如何求参数的范围?提示:先分离参数,再依据有(或无)零点得出等式(或不等式),最后得出结论.与函数零点有关的比较大小【典例】(2019承德模拟)已知a是函数f(x)=2x-lox的零点,若0x00C.f(x0)0D.f(x0)的符号不确定【解析】选C.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=lox的图像,由图像可知,当0x0a时,有lox0,即f(x0)bcB.bcaC.cabD.bac【解析】选B.在同一直角坐标系中画出y=2x,y=log2x,y=x3与y=-x的图像,前3个图像与y=-x交点的横坐标依次为a,b,c.如图,可知bca.
11、故选B.3.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=-x+a(aR)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为()A.B.C.1D.1【解析】选D.作出函数f(x)=的图像,以及直线y=-x,如图,关于x的方程f(x)=-x+a(aR)恰有两个互异的实数解,即为y=f(x)和y=-x+a(aR)的图像有两个交点,平移直线y=-x,考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时,有两个交点,可得a=或a=,考虑直线y=-x+a(aR)与y=在x1时相切,ax-x2=1,由=a2-1=0,解得a=1(-1舍去),所以a的取值范围是.1.(2020包头模拟)已知函数f(x)=ln x+3x-8的零点x0a,b,且b-a=1,a,bN*,则a+b=()A.0B.2C.5D.7【解析】选C.因为f(2)=ln 2+6-8=ln 2-20,且函数f(x)=ln x+3x-8在(0,+)上为单调递增函数,所以x02,3,即a=2,b=3,所以a+b=5.2.已知a为正常数,f(x)=若x1,x2R,使f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围是.【解析】由于a0,函数y=x2+ax+3在0,+)上单调递增,当x=0时有最小值为3.在x3,解得a2.答案:(2,+)