1、2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷02（人教A版）（文）（本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：人教A版 必修5全册+选修1-1第一章、第二章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1已知，若：，：，则是的( )。A、必要不充分条件B、充分不必要条件C、充分且必要条件D、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】不能推出，当、时，满足：，但不满足：，能推出，当时，是的必要不充分条件，选A。2某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比。如果在距离车站处建仓库，
2、则土地费用和运输费用分别为万元和万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )。A、处 B、处 C、处 D、处【答案】A【解析】设仓库建在离车站处，则土地费用()，运输费用()，把，代入得，把，代入得，故总费用，当且仅当，即时等号成立，故选A。3已知等比数列的前项积满足，则( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】，故选C。4关于的不等式()的解集为，则的最小值是( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】可化为，解集为，故选C。5对于一个给定的数列，把它连续的两项与的比记为，得到一个新的数列，称数列是数列的一阶比数列，若数列的一阶比数列是每一项均为的常数列，则( )。A、
3、B、 C、 D、【答案】D【解析】由题意可知，数列满足，则数列是等比数列，且公比，则，故选D。6已知椭圆：()的左、右焦点分别为、。若椭圆上存在点使，则椭圆的离心率的取值范围为( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】如图，设，由正弦定理得：，则，则，又，则，又，则，两边同除以得，解得，故选C。7在中，角、的对边分别为、，若，且、为等差数列，则( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】，则，又、等差，则，故选C。8在双曲线：(，)的右支上存在点，使点与双曲线的左、右焦点、形成的三角形的内切圆的半径为，若的重心满足，则双曲线的离心率为( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】如
4、图，由平行于轴可得，则，又，则，由焦半径公式得，因此代入双曲线方程得可得，即，故选C。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9椭圆的离心率为，则的值为( )。A、 B、 C、 D、【答案】BD【解析】，则，则，即，解得， ，则，则，即，解得，故选BD。10已知，下列四个条件中，使成立的既不充分也不必要的条件是( )。A、 B、 C、 D、【答案】CD【解析】A选项：，但不能，则是的充分而不必要条件， 例：，则，而，但，B选项：不能，但，则是的必要而不充分条件，例：，但，而，则，C选项：不
5、能，也不能，则是的既不充分也不必要条件，例：，但，而，但，D选项：不能，也不能，则是的既不充分也不必要条件，例：，但，而，但，综上，选CD。11设，则当取最小值时，下列说法正确的是( )。A、 B、 C、 D、【答案】AC【解析】原式 当且仅当，即，时，等号成立，此时，故选AC。12若数列通项公式为，则满足的正整数的个数为( )。A、 B、 C、 D、【答案】AB【解析】由可知，当时，解得，不符，舍去，当时，即，解得或，符合，可取，故选AB。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知实数、满足约束条件，则的最大值是 。【答案】【解析】表示可行域内的点与点连线的斜率，当直线过点时，
6、斜率取最大值，。14在各项均为正数的等比数列中，若，则的值为 。【答案】【解析】等比数列的各项均为正数，。15已知中角、所对的边分别为、，则 。【答案】【解析】由得：，即，由得，得，由余弦定理得，即，解得。16如图，已知抛物线的焦点为，直线过点且依次交抛物线及圆于、四点，则的最小值为 。【答案】【解析】，焦点，准线：，由圆：，圆心，半径为，由抛物线的定义得：，又，同理：，当轴时，则，当的斜率存在且不为，设：时，代入抛物线方程，得：，当且仅当，即，时取等号，综上所述的最小值为。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分10分）在中，角、的对边分别
7、为、，且。(1)求的大小；(2)若为边上的中线，求的面积。【解析】(1)在中，由正弦定理得：， 1分则， 2分则，又， 3分，； 4分 (2)在中，由余弦定理得， 6分在中，由正弦定理得，由已知得， 7分， 9分由解得，。 10分18（本小题满分12分）已知数列满足，对任意的均有。(1)证明：数列为等比数列；(2)记数列满足，且数列的前项和为，求。【解析】(1)，又， 2分数列是首项为，公比为的等比数列， 3分，； 4分(2)， 6分 8分 10分，。 12分19（本小题满分12分）在中，内角、的对边分别为、，点在线段上，且，。(1)求；(2)求的面积。【解析】(1)点在线段上，且， 1分在中
8、，由余弦定理得：， 2分在中，由余弦定理得：， 3分则，化简得， 4分在中，由余弦定理得：， 6分化简得，十字相乘得：，解得或(舍去)， ； 8分 (2)， 9分 ， 10分 又，。 12分20（本小题满分12分）已知直线与抛物线：()交于、两点，且点、在轴两侧，其准线与轴的交点为点，当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，。(1)求抛物线的标准方程；(2)若抛物线的焦点为，且与的面积分别为、，求的最小值。【解析】(1)当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，直线的方程为， 1分设、，联立得：， 2分则， 3分，解得， 4分此抛物线的标准方程为； 5分 (2)由(1)知抛物线的方程为，设直线：， 6分直线
9、与抛物线相交， 7分联立得：，则， 8分则，解得或(舍)， 9分直线：，恒过定点，设，从而、， 10分则， 11分当且仅当时不等式取等号， 故的最小值为。 12分21（本小题满分12分）已知等差数列的前项和，满足。(1)求的值；(2)设，数列的前项和为，求证：。【解析】(1)由题意知，当时， 1分当时，由， 2分-得()，()， 3分又数列为等差数列，得； 4分(2)由(1)知，则， 5分， 6分， 7分上式减下式得： 8分， 9分， 10分，是关于的增函数，即， 11分又易知，故。 12分22（本小题满分12分）已知椭圆()，设为椭圆上一点，且，。(1)求；(2)若，是否存在以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，请求出共有几个？若不存在，请说明理由。【解析】(1)设，由椭圆定义得，设椭圆的半焦距为，则， 2分对由余弦定理得：，解得， 3分又，结合得； 5分(2)可得椭圆的标准方程为：，当、中一个斜率为零，一个斜率不存在显然不符合题意， 6分设：，不妨设，联立直线和椭圆方程得：， 7分两根为、， ， 8分由，得，把中的换成，可得， 10分由，得，结合化简得，整理得，解得、，均符合，符合条件的的个数有个。 12分
