1、第一章1.41.4.1第1课时请同学们认真完成练案 6 A组素养自测一、选择题1若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则(B)AlBlClDl与斜交解析u2a，ua，l2下列命题中，正确的个数有(C)(1)直线l的方向向量是唯一的；(2)若点A、B是平面上的任意两点，n是平面的法向量，则n0；(3)若向量n1、n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行；(4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反A1个B2个C3个D4个解析只有错误，其余都正确3(多选题)若M(1,0，1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是
2、(AB)A(2,2,6)B(1,1,3)C(3,1,1)D(3,0,1)解析M，N在直线l上，(1,1,3)，故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的一个方向向量4已知向量a(2,4,5)、b(5，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1l2，则(D)Ax6，y15Bx3，yCx10，y15Dx10，y解析l1l2，ab，5设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k(C)A2B4C4D2解析，k4，故选C二、填空题6已知A、B、C三点的坐标分别为A(1,2,3)、B(2，1,1)、C(3，)，若，则等于_解析(1，3，2)、(2，2，3)，0，23(2
3、)2(3)0，解得7已知直线l的方向向量为u(2,0，1)，平面的一个法向量为v(2,1，4)，则l与的位置关系为_l或l_解析uv2(2)01(1)(4)0，l或l8在如图所示的坐标系中，ABCDA1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为_(不唯一)(0,0,1)_，直线BC1的一个方向向量为_(0,1,1)_解析DD1AA1，(0,0,1)，直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；BC1AD1，(0,1,1)，故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)三、解答题9设a、b分别是不重合的直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：(1)a(4,6，
4、2)、b(2，3,1)；(2)a(5,0,2)、b(0,1,0)；(3)a(2，1，1)、b(4，2，8)解析(1)a(4,6，2)、b(2，3,1)，a2b，ab，l1l2(2)a(5,0,2)、b(0,1,0)，ab0，ab，l1l2(3)a(2，1，1)，b(4，2，8)，a与b不共线也不垂直l1与l2相交或异面10如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC，PA底面ABCD，PA2，点M为PA的中点，点N为BC的中点AFCD于F，如图建立空间直角坐标系求出平面PCD的一个法向量并证明MN平面PCD解析由题设知：在RtAFD中，AFFD，A(0,0,0)，B(1,0
5、,0)，F，D，P(0,0,2)，M(0,0,1)，N，设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)，则令z，得n(0,4，)因为n(0,4，)0，又MN平面PCD，所以MN平面PCDB组素养提升一、选择题1从点A(2，1,7)沿向量a(8,9，12)的方向取线段长|34，则B点的坐标为(A)A(18,17，17)B(14，19,17)CD解析设B点坐标为(x，y，z)，则a(0)，即(x2，y1，z7)(8,9，12)，因为|34，即34，得2，所以x18，y17，z172已知点A(4,1,3)、B(2，5,1)，C为线段AB上一点且，则点C的坐标为(C)ABCD解析C在线段AB上，设C(x，
6、y，z)，则由得，(x4，y1，z3)(24，51，13)，即，解得故选C3(多选题)下面各组向量为直线l1与l2方向向量，则l1与l2平行的是(ABC)Aa(1,2，2)、b(2，4,4)Ba(1,0,0)、b(3,0,0)Ca(2,3,0)、b(4,6,0)Da(2,3,5)、b(4,6,8)解析l1与l2不平行则其方向向量一定不共线A中：b2a，B中：b3a，C中：b2a故选ABC4(多选题)对于任意空间向量a(a1，a2，a3)、b(b1，b2，b3)，则下列说法正确的是(CD)AabB若a1a2a31，则a为单位向量Caba1b1a2b2a3b30D若a为平面的法向量，则向量(ka1
7、，ka2，ka3)(k为非零实数)，也为平面的法向量解析由ab，反之不一定成立，故A不正确；B显然错误；CD是正确的，故选CD二、填空题5平面经过三点A(1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，1,0)，则平面的法向量u可以是_(0,1，1)_解析(2,1,1)，(3，1，1)，设平面的法向量u(x，y，z)，则令z1，y1，x0，u(0,1，1)6已知平面经过点O(0,0,0)，且e(1,2，3)是的一个法向量，M(x，y，z)是平面内任意一点，则x，y，z满足的关系式是_x2y3z0_解析由题意得e，则e(x，y，z)(1,2，3)0，故x2y3z07在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1
8、，2,3)、B(2,1，1)，向量的坐标为_(1,3，4)_，若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为_解析设点C的坐标为(x,0，z)，则(x1,2，z3)，(1,3，4)，因为与共线，所以，解得，所以点C的坐标为三、解答题8如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M、N分别是PA、BD上的点，且PM MABN ND5 8求证：直线MN平面PBC证明()()，与、共面，平面BCP，MN平面BCP，MN平面BCP9如图，在正方体ABCDABCD中，求证：平面ABD平面BDC分析证明面面平行常用的方法有两种，一是证明它们的法向量共线；二是转化为线面平行、线线平行即可证明方法1：设正方体的
9、棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,1)，D(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，C(0,1,1)，于是(0,1,1)，(1,1,0)，(1,1,0)，(0,1,1)设平面ABD的法向量为n1(x1，y1，z1)，则n1，n，即令y11，则x11，z11，可得平面ABD的一个法向量为n1(1,1，1)设平面BDC的法向量为n2(x2，y2，z2)则n2，n2，即令y21，则x21，z21，可得平面BDC的一个法向量为n2(1,1，1)所以n1n2，所以n1n2，故平面ABD平面BDC方法2：由方法1知(1,0,1)，(1,0,1)，(0,1,1)，(0,1,1)，所以，即ADBC，ABDC，所以AD平面BDC，AB平面BDC又ADABA，所以平面ABD平面BDC方法3：同方法1得平面ABD的一个法向量为n1(1,1，1)易知(1,1,0)，(0,1,1)因为n1(1,1，1)(1,1,0)0，n1(1,1，1)(0,1,1)0，所以n1也是平面BDC的一个法向量，所以平面ABD平面BDC