1、辽宁省六校2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单选题（共8道，每题5分，共40分，每题4个选项，只有一个符合题目要求）1.复数满足，则（）A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解，得到答案【详解】由题意，复数，得，故选B【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题2.不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由函数的图象求得x的范围.【详解】因为，所以结
2、合函数的图象可得，故选：B.【点睛】本题考查三角不等式的求解，运用三角函数图象求解不等式，是常用的方法，属于基础题.3.设是方程的两个根，则的值为（ ）A. -3B. -1C. 1D. 3【答案】A【解析】试题分析：由tan，tan是方程x2-3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tan+tan及tantan的值，然后将tan（+）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tan+tan及tantan的值代入即可求出值解：tan，tan是方程x2-3x+2=0的两个根，tan+tan=3，tantan=2,则tan（+）=-3，故选A.考点：两角和与差的正切函数公式点评：此题考查了两角和
3、与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键4.已知ABC的外心是边BC的中点，=(k，1)，=(2，3)，则k的值为（ ）A. 5B. -5C. D. -【答案】D【解析】【分析】首先可判断三角形为直角三角形，再根据向量的数量积为零计算可得；【详解】解：因为ABC的外心是边BC的中点，所以ABC是以为直角顶点的直角三角形，因为，所以，解得故选：D【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.5.已知角终边过点，则的值是（ ）A. B. C. 或D. 随着的取值不同其值不同【答案】B【解析】试题分析：角的终边过点，=,.考点：任意角的三角函数
4、值.6.下列函数中，周期为，且在上单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】逐一考查所给的函数： ，其周期 ，在区间 上单调递减； ，其周期 ，不合题意； ，其周期 ，在区间 上单调递增，不合题意； 的图象是将函数 的图象位于轴下方的图象翻折到上方得到的图象，其周期 ，不合题意；本题选择A选项.7.棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设出棱台的高与截得它的棱锥的高，利用面积之比等于相似比的平方，化简求出结果【详解】设棱台的高为与截得它的棱锥的高，作出草图，如下图所示： 由相似关系可
5、得，所以，则 即， 可得 .故选：B【点睛】本题考查棱台的结构特征，计算能力，是基础题8.一船沿北偏西方向航行，正东有两个灯塔A,B, 海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东，另一灯塔在船的南偏东，则这艘船的速度是每小时 （ ）A. 5海里B. 海里C. 10海里D. 海里【答案】D【解析】【分析】根据题意作出对应的三角形，结合正弦定理及三角形的边角关系即可得到结论【详解】如图所示,COA=135,ACO=ACB=ABC=15,OAC=30，AB=10，AC=10.AOC中,由正弦定理可得，这艘船的速度是每小时海里，故选D.【点睛】正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）
6、知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.二、多选题（共4小题，每题5分，共20分，每题4个选项中有多个正确选项，全部选对得5分，漏选得3分，错选得0分）9.以下命题（其中a，b表示直线，a表示平面），其中错误的是（ ）A. 若则B. 若则C. 若则D. 若，则【答案】ABC【解析】【分析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系可知、是错误的，根据直线与平面平行的性质定理可知是正确的.【详解】对于，若则或，故错误；对于，若则或与异面或与相交；故错误；对于，若则或，故错误
7、；对于，根据直线与平面平行的性质定理可知，“若，则”是正确的，故选：ABC.【点睛】本题考查了直线与直线、直线与平面的位置关系，考查了直线与平面平行的性质定理，属于基础题.10.已知，则下列命题中，是真命题的有哪些？（1）若，则是等腰三角形；（2）若，则是直角三角形；（3）若，则是钝角三角形；（4）若，则是等边三角形.【答案】（3）（4）为真命题【解析】【分析】（1）根据正弦函数性质及三角形内角的取值范围判断（2）由诱导公式变形，结合正弦函数性质判断（3）由余弦函数性质判断（4）由余弦函数性质判断【详解】解：（1）若，或.或.为等腰三角形或直角三角形，故（1）为假命题.（2）若，或，或，为直角
8、三角形或钝角三角形，故（2）为假命题.（3）若，中有一个为钝角，其余两个为锐角，为钝角三角形，故（3）为真命题.（4）若，.又，即为等边三角形，故（4）为真命题.【点睛】本题考查命题的真假判断，考查三角形形状的判断，解题是需结合三角形内角的取值范围和正弦函数、余弦函数的性质判断11.是边长为2的等边三角形，已知向量、满足、，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】本题首先可以根据向量的减法得出，然后根据是边长为2的等边三角形得出A正确以及B错误，再然后根据向量、之间的夹角为计算出，C错误，最后通过计算得出，D正确.【详解】因为，所以，因为是边长为2的等边三角
9、形，所以，A正确，因为，所以向量、之间的夹角为，B错误，所以，C错误，因为，所以，D正确，故选：AD.【点睛】本题考查向量的减法运算以及向量的数量积，若向量、之间的夹角为，则，若，则，考查推理能力与计算能力，是中档题.12.关于函数，下列命题正确的是（ ）A. 由可得是的整数倍B. 的表达式可改写成C. 的图像关于点对称D. 的图像关于直线对称【答案】BD【解析】【分析】首先将函数化简，再根据三角函数的图象和性质，分别进行求解判断即可【详解】解：因为所以解：由得，则函数的最小正周期，则是的整数倍，故错误，故正确，当时，即函数关于不对称，故错误，当时，是最小值，则的图象关于直线对称，正确，故正确
10、的是，故选：BD【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合函数的对称性，三角函数的诱导公式是解决本题的关键，属于中档题三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.已知，向量与的夹角为，则=_.【答案】【解析】【分析】运用向量的数量积的定义，计算向量，的数量积，再由向量的平方即为模的平方，计算代入数据，即可得到所求值【详解】解：，向量与的夹角为，则，所以故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于基础题14.已知中，则_.【答案】【解析】【分析】已知两边和其中一边的对角解三角形用余弦定理求解即可.【详解】解：，所以，故答案为：.【点睛】已知两边和其中一边的对
11、角解三角形，用余弦定理求解时，只要解出的边是正数就符合题意；基础题.15.一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为_;该四面体的体积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先求出正四面体的高，结合球心在高上及勾股定理即可求出球的半径，利用球的表面积公式和三棱锥的体积公式即可解决.【详解】由题意可知，该四面体为正四面体，如图正四面体,棱长都为，外接球球心为，为的中心，设外接球半径为，则,在中，,在中，,即，解得,所以此球的表面积为，该四面体的体积为 故答案为：；【点睛】本题主要考查正四面体的外接球问题及球的表面积、三棱锥的体积公式，属于基础题.16.函数，若
12、在上恒成立，则m的取值范围是_;若在上有两个不同的解，则m的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】将化为，求出当时，的最大值可得的取值范围，将在上有两个不同的解，化为函数，与的图象有两个交点，再根据函数，的图象可得答案.【详解】因为可化为，当时，所以的最大值为2，所以.因为在上有两个不同的解，等价于函数，与的图象有两个交点，函数，的图象如图：由图可知，.故答案为：；.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了正弦型函数图象的应用，考查了由函数图象的交点个数求参数范围，属于基础题.四、解答题（写出必要的解题步骤，文字说明等）17.已知，且向量在向量的方向上的投影为，求：（1
13、）与夹角;（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题知，进而得出，即可求得.（2）根据数量积的定义即可得出答案.【详解】解：（1）由题意，所以.又因为，所以.（2）.【点睛】本题考查了向量的夹角、向量的数量积，考查学生对公式的熟练程度，属于基础题.18.在锐角中，角、所对的边分别是、，且(1)求角；(2)若，求.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)本题首先可根据正弦定理边角互化得出，然后通过三角恒等变换化简得出，最后根据为锐角三角形即可得出结果；(2)首先可根据正弦定理边角互化得出，然后根据余弦定理得出，带入，通过化简即可得出结果.【详解】(1)因为，所以由正弦定理可
14、得，即，因为在中，所以因为为锐角三角形，所以，(2)因为，所以由正弦定理可得，因为，所以由余弦定理可知，代入，得，解得.【点睛】本题考查正弦定理边角互化以及余弦定理，考查余弦定理公式、两角和的正弦公式以及诱导公式，考查化归与转化思想，考查计算能力，体现了综合性，是中档题.19.已知（1）求值;（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求出的值，再求出后可得的值；（2）先求出，再利用二倍角公式化简三角函数式，代入前面的结果可得所求的值.【详解】（1）对于 ，两边平方得，所以， ，；（2）联立，解得，原式.【点睛】本题考查同角的三角函数的基本关系式、二倍角公式，属于中档题题.2
15、0.如图，在正方体中，作棱锥，其中点在侧棱所在直线上，是的中点.（1）证明：平面;（2）求以为轴旋转所围成的几何体体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】(1)本题首先可以连接交于并连接，然后根据是的中位线得出，即可根据线面平行的判定证得平面；(2)本题首先可以过作垂线并令垂足为，然后根据题意得出几何体的形状，再然后求出与的长，最后根据圆锥的体积公式即可得出结果.【详解】(1)如图，连接交于，连接，因为四边形是正方形，所以为中点，因为为的中点，所以是的中位线，因为包含于平面，不包含于平面，所以平面，(2)如图，过作的垂线，垂足为，则以为轴旋转所围成的几何体是以为半径并且分别以、
16、为高的两个圆锥的旋转体，因为侧棱底面，包含于底面，所以，因为，所以，因为，所以，所以以为轴旋转所围成的几何体体积为.【点睛】本题考查线面平行的判定以及旋转体体积的计算，若平面外一条直线平行平面内的一条直线，则直线与平面平行，考查推理能力与计算能力，体现了基础性与综合性，是中档题.21.中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且(1)求的值；(2)若，求面积的最大值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)将化简代入数据得到答案.(2)利用余弦定理和均值不等式计算，代入面积公式得到答案.【详解】 ；(2)由，可得，由余弦定理可得，即有，当且仅当，取得等号则面积为即有时，的面积取得最大值【点睛】
17、本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型.22.已知函数的图像相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右移个单位，所得函数为奇函数.(1)求的解析式；(2)若函数的零点为，求；(3)若对任意，有解，求的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】【分析】(1)本题首先可通过相邻对称轴之间的距离是得出，然后通过图像的平移即可得出，最后根据函数为奇函数即可求出的值；(2)本题首先可通过题意得出，然后通过三角函数的诱导公式即可得出结果；(3)本题可令，然后根据得出，最后通过求出的取值范围即可得出的取值范围.【详解】(1)因为相邻对称轴之间的距离是，所以，解得，将的图像向右移个单位，可得函数，因为函数为奇函数，所以，因为，所以，(2)因为函数的零点为，所以，因为，所以，(3)令，有解即有解，因为，所以，因为，所以当时，因为有解，所以的取值范围为.【点睛】本题考查三角函数对称性、奇函数的相关性质、三角函数的诱导公式以及三角函数的取值范围的求法，当奇函数定义域包括时，有，考查公式，考查推理能力，是中档题.