1、第二章2.32.3.2第2课时 A级基础巩固一、选择题1若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是(D)A(，)B(0，)C(，0) D(，1)解析由，得(1k2)x24kx100由题意，得，解得k0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(D)A1 B1Cy21 Dx21解析根据题意画出草图如图所示(不妨设点A在渐近线yx上)由AOF的边长为2的等边三角形得到AOF60，c|OF|2又点A在双曲线的渐近线yx上，tan 60又a2b24，a1，b，双曲线的方程为x21故选D4若ab0，则axyb0和
2、bx2ay2ab所表示的曲线只可能是下图中的(C)解析方程可化为yaxb和1.从B，D中的两椭圆看a，b(0，)，但B中直线有a0，b0矛盾，应排除；D中直线有a0矛盾，应排除；再看A中双曲线的a0，但直线有a0，b0，也矛盾，应排除；C中双曲线的a0，b0设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x22m，y1y2x1x22m4m，线段AB的中点坐标为(m,2m)，又点(m,2m)在圆x2y25上，5m25，m18(2017安徽合肥高二检测)过双曲线1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为，这样的直线有_1_条.解析依题意得右焦点F(5,0)，所以过F且垂直x轴的直线是x5，代入1，得y，所以
3、此时弦长为2当不垂直于x轴时，如果直线与双曲线有两个交点，则弦长一定比长因为两顶点间距离为4，即左右两支上的点的最短距离是4，所以如果交于两支的话，弦长不可能为，故只有一条三、解答题9(2017福建八县一中高二期末测试)已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为4，且过点(3,2).(1)求双曲线方程和其渐近线方程；(2)若直线l：ykx2与双曲线C有且只有一个公共点，求实数k的取值范围解析(1)由题意得，解得双曲线方程为x21，其渐近线方程为yx(2)由，得(3k2)x24kx70，由题意得，k27，k当直线l与双曲线C的渐近线yx平行，即k时，直线l与双曲线C只有一个公共点，k或k10已知双曲
4、线C：1的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点. (1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30的直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长解析(1)双曲线C：1的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，a，解得c3，又c2a2b2，b，双曲线的方程为1(2)双曲线1的右焦点为F2(3,0)，直线l的方程为y(x3)，联立得5x26x270，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|AB|B级素养提升一、选择题1(2017全国文，5)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则APF的面积为(
5、D)ABCD解析因为F是双曲线C：x21的右焦点，所以F(2,0)因为PFx轴，所以可设P的坐标为(2，yP)因为P是C上一点，所以41，解得yP3，所以P(2，3)，|PF|3又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，所以SAPF|PF|131故选D2设离心率为e的双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是(C)Ak2e21 Bk2e21 De2k21解析直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是直线l的斜率k，两边平方得，k213(安徽屯溪一中20172018学年高二期中)双曲线1(a0，b0)的左右焦点分别为F
6、1、F2，渐近线为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，若l2PF1，l2PF2，则双曲线的离心率为(B)A B2 C D解析设双曲线渐近线l1的方程为yx，l2的方程为yx，则设P点坐标为(x，x)，则直线PF1的斜率k1，直线PF2的斜率k2，由l2PF1，则()1，即1(1)由l2PF2，则，解得x(2)，联立(1)(2)，整理得：3，由双曲线的离心率e2，所以双曲线的离心率为2，故选B4从双曲线1(a0，b0)的左焦点F引圆x2y2a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|MT|与ba的关系为(C)A|MO|MT|baB|MO|M
7、T|baC|MO|MT|baD|MO|MT|与ba无关解析如图所示，设F是双曲线的右焦点，连接PF点M，O分别为线段PF，FF的中点由三角形的中位线定理可得：|OM|PF|(|PF|2a) |MF|a，|OM|MT|MF|MT|a|FT|a，连接OT，则OTFT，在RtFOT中，|OF|c，|OT|a，|FT|b|OM|MT|ba.故选C二、填空题5(2017北京文，10)若双曲线x21的离心率为，则实数m_2_.解析由双曲线的标准方程知a1，b2m，c，故双曲线的离心率e，1m3，解得m26(2016浙江高考)设双曲线x21的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三
8、角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_(2，8)_.三、解答题7已知曲线C：x2y21和直线l：ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值解析(1)由，得(1k2)x22kx20直线与双曲线有两个不同的交点，解得k0，b0)如图，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足|，|，|成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P(1)求证：(2)若l与双曲线C的左右两支分别相交于点E，D，求双曲线离心率e的取值范围解析(1)双曲线的渐近线为yx，F(c,0)，所以直线l的斜
9、率为，所以直线l：y(xc)由得P(，)，因为|，|，|成等比数列，所以xAca2，所以xA，A(，0)，(0，)，(，)，(，)，所以，则(2)由得(b2)x22cx(a2b2)0，x1x2，因为点E，D分别在左右两支上，所以a2，所以e22，所以eC级能力拔高已知直线yax1与双曲线3x2y21交于A、B两点.(1)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；(2)是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线yx对称？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由解析(1)由，消去y得，(3a2)x22ax20.依题意，即a且a设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆过原点，OAOBx1x2y1y20，但y1y2a2x1x2a(x1x2)1，由知，(a21)a10解得a1且满足(2)假设存在实数a，使A、B关于yx对称，则直线yax1与yx垂直，a2直线l的方程为y2x1将a2代入得x1x24AB中点横坐标为2，纵坐标为y2213但AB中点(2，3)不在直线yx上即不存在实数a，使A、B关于直线yx对称