1、核心素养测评四十六垂 直 关 系(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.,为不同的平面,m,n,l为不同的直线,则m的一个充分条件是()A.n,n,mB.=m,C.,mD.,=l,ml【解析】选A.由n,n知,又m,所以m.所以A正确.2.(2020铜陵模拟)教师拿了一把直尺走进教室,则下列判断正确的个数是()教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线平行;教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线垂直;教室地面上有无数条直线与直尺所在直线平行;教室地面上有无数条直线与直尺所在直线垂直.A.1B.2C.3D.4【解析】选A.当直尺与地面平行时,有无数条直线与直尺平行,错误当直尺与地
2、面垂直时,有无数条直线与直尺垂直,错误当直尺与地面相交时,没有直线与直尺平行,错误不管直尺与地面是什么关系,有无数条直线与直尺所在直线垂直,正确.3.如图,在四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下面结论正确的是()A.平面ABD平面ABCB.平面ADC平面BDCC.平面ABC平面BDCD.平面ADC平面ABC【解析】选D.在平面图形中CDBD,折起后仍有CDBD,由于平面ABD平面BCD,故CD平面ABD,所以CDAB,又ABAD,ADCD=D,故AB平面ADC,又因为AB
3、平面ABC,所以平面ABC平面ADC.4.下列说法正确的是()A.直线a平行于平面M,则a平行于M内的任意一条直线B.直线a与平面M相交,则a不平行于M内的任意一条直线C.直线a不垂直于平面M,则a不垂直于M内的任意一条直线D.直线a不垂直于平面M,则过a的平面不垂直于M【解析】选B.A选项不正确,因为一条线平行于一个平面,则它与该平面内的直线的位置关系是平行或者异面;B选项正确,因为直线a与平面M相交,则a与M内的任意一条直线位置关系是异面或相交;C选项不正确,因为直线a不垂直于平面M,则a与平面M内与它的投影垂直的直线是垂直关系;D选项不正确,因为直线a不垂直于平面M,则过a的平面可以垂直
4、于M.5.如图,正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直,O为正方形ABCD的中心,M为正方形ABCD内一点,且满足MP=MC,则点M的轨迹为()【解析】选A.取AD的中点E,连接PE,PC,CE.由PEAD知PE平面ABCD,从而平面PEC平面ABCD,取PC,AB的中点F,G,连接DF,DG,FG,由PD=DC知DFPC,由DGEC知,DG平面PEC,又PC平面PEC,所以DGPC,DFDG=D,所以PC平面DFG,又点F是PC的中点,因此,线段DG上的点满足MP=MC.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,PA圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F
5、分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:AFPB;EFPB;AFBC;AE平面PBC.其中正确结论的序号是.【解析】由题意知PA平面ABC,所以PABC.又ACBC,且PAAC=A,所以BC平面PAC,所以BCAF.因为AFPC,且BCPC=C,所以AF平面PBC,所以AFPB,又AEPB,AEAF=A,所以PB平面AEF,所以PBEF.故正确.答案:7.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)【解析】因为PA底面ABCD,所以BDPA,连接AC,则BDAC,且PAA
6、C=A,所以BD平面PAC,所以BDPC,所以当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD,而PC平面PCD,所以平面MBD平面PCD.答案:DMPC(答案不唯一)8.设,是空间两个不同的平面,m,n是平面及外的两条不同直线.从“mn;n;m”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:(用代号表示).【解析】逐一判断.若成立,则m与的位置关系不确定,故错误;同理也错误;与均正确.答案:(或)三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020新余模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABAC,AC=AA1,D是棱AB的中点.(1)求证:BC1平面A1CD.(2)求
7、证:BC1A1C.【证明】(1)连接AC1,设AC1A1C=O,连接OD,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1是平行四边形,所以O为AC1的中点,又因为D是棱AB的中点,所以ODBC1,又因为BC1平面A1CD,OD平面A1CD,所以BC1平面A1CD.(2)由(1)可知侧面ACC1A1是平行四边形,因为AC=AA1,所以平行四边形ACC1A1是菱形,所以AC1A1C,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,因为AB平面ABC,所以ABAA1,又因为ABAC,ACAA1=A,AC平面ACC1A1,AA1平面ACC1A1,所以AB平面ACC1A1,因为A1C平面ACC1
8、A1,所以ABA1C,又因为AC1A1C,ABAC1=A,AB平面ABC1,AC1平面ABC1,所以A1C平面ABC1,因为BC1平面ABC1,所以BC1A1C.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是菱形,PADBAD,平面PAD平面ABCD,AB=4,PA=PD,M在棱PD上运动.世纪金榜导学号(1)当M在何处时,PB平面MAC.(2)已知O为AD的中点,AC与OB交于点E,当PB平面MAC时,求三棱锥E-BCM的体积.【解析】(1)如图,设AC与BD相交于点N,当M为PD的中点时,PB平面MAC.证明:因为四边形ABCD是菱形,可得DN=NB,又因为M为PD的中点,可得DM=
9、MP,所以NM为BDP的中位线,可得NMPB,又因为NM平面MAC,PB平面MAC,所以PB平面MAC.(2)因为O为AD的中点,PA=PD,则OPAD,又PADBAD,所以OBAD,且OB=2,又因为AEOCEB,所以=,所以BE=OB=,所以SEBC=4=.又因为OP=4=2,点M为PD的中点,所以M到平面EBC的距离为,所以VE-BCM=VM-EBC=.(15分钟35分)1.(5分)如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列正确的是()A.平面ABC平面ABDB.平面ABD平面BDCC.平面ABC平面BDE,且平面ADC平面BDED.平面ABC平面ADC
10、,且平面ADC平面BDE【解析】选C.要判断两个平面的垂直关系,就需固定其中一个平面,找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BEAC,同理有DEAC,于是AC平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD,所以平面ACD平面BDE.2.(5分)四面体P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,PA=8,BC=4,PB=PC=AB=AC,且平面PBC平面ABC,则球O的表面积为()A.64B.65C.66D.128【解析】选B.如图,D,E分别为BC,PA的中点,易知球心点O在线段DE上,因为PB=PC=AB=AC,则PDB
11、C,ADBC,PD=AD.又因为平面PBC平面ABC,平面PBC平面ABC=BC,所以PD平面ABC,所以PDAD,所以PD=AD=4.因为点E是PA的中点,所以EDPA,且DE=EA=PE=4 .设球O的半径为R,OE=x,则OD=4-x.在RtOEA中,有R2=16+x2,在RtOBD中,有R2=4+(4-x)2,解得R2=,所以S=4R2=65.3.(5分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PAB与PBC是正三角形,平面PAB平面PBC,ACBD,则下列结论不一定成立的是()A.PBACB.PD平面ABCDC.ACPDD.平面PBD平面ABCD【解析】选B.取BP的中点O,连接OA,OC,易
12、得BPOA,BPOCBP平面OACBPAC选项A正确;又ACBDAC平面BDPACPD,平面PBD平面ABCD,故选项C,D正确.4.(10分)(2020淮北模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,AB=BC=1,BB1=2.(1)求异面直线B1C1与A1C所成角的正切值.(2)求直线B1C1与平面A1BC的距离.【解析】(1)因为B1C1BC,所以A1CB (或其补角)是异面直线B1C1与A1C所成角.因为BCAB,BCBB1,ABBB1=B,所以BC平面ABB1,所以BCA1B.在RtA1BC中,tanA1CB=,所以异面直线B1C1与A1C所成角的正切值为.(2)因为B1C
13、1平面A1BC,所以B1C1到平面A1BC的距离等于B1到平面A1BC的距离,设B1到平面A1BC的距离为d,因为=,所以d=A1B1,可得d=,所以直线B1C1与平面A1BC的距离为.5.(10分)如图,三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60.世纪金榜导学号(1)求三棱锥P-ABC的体积.(2)在线段PC上是否存在点M,使得ACBM,若存在点M,求出的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意知AB=1,AC=2,BAC=60,可得SABC=ABACsin 60=.由PA平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高.又PA=1,所以三棱锥P-ABC的
14、体积V=SABCPA=.(2)在平面ABC内,过点B作BNAC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MNPA交PC于点M,连接BM.由PA平面ABC知PAAC,所以MNAC.由于BNMN=N,故AC平面MBN.又BM平面MBN,所以ACBM.在RtBAN中,AN=ABcos BAC=,从而NC=AC-AN=.由MNPA,得=.1.如图,点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列四个结论:三棱锥A-D1PC的体积不变;A1P平面ACD1;DPBC1;平面PDB1平面ACD1.其中正确的结论序号是.世纪金榜导学号【解析】由题意可得直线BC1平行于直线AD1,并且直线AD1平
15、面AD1C,直线BC1平面AD1C,所以直线BC1平面AD1C.所以点P到平面AD1C的距离不变,=,所以三棱锥A-D1PC的体积不变,故正确;连接A1C1,A1B,可得平面AD1C平面A1C1B.又A1P平面A1C1B,所以A1P平面ACD1,故正确;当点P运动到B点时,DBC1是等边三角形,所以DP不垂直于BC1,故不正确;连接BD,因为直线AC平面DB1B,DB1平面DB1B.所以ACDB1.同理可得AD1DB1.所以可得DB1平面AD1C.又DB1平面PDB1.所以可得平面PDB1平面ACD1.故正确.答案:2.正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是BC的中点,动点P在四棱锥的表面上运动,并且总保持PEAC,则动点P的轨迹的长为.世纪金榜导学号【解析】如图,设ACBD=O,连接SO,取CD的中点F,SC的中点G,连接EF,EG,FG,设EF交AC于点H,连接GH,易知ACEF,GHSO,所以GH平面ABCD,所以ACGH,所以AC平面EFG,故动点P的轨迹是EFG的三条边,由已知易得EF=,GE=GF=,所以EFG的周长为+,故动点P的轨迹长为+.答案:+