1、第六节立体几何中的向量方法A组基础题组1.若直线l的方向向量与平面的一个法向量的夹角等于120,则直线l与平面所成的角等于() A.120B.60C.30D.60或30答案C设直线l与平面所成的角为,直线l与平面的法向量的夹角为.则sin =|cos |=|cos 120|=12.又因为090,所以=30.2.(2019四川成都模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若BAC=90,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A.30B.45C.60D.90答案C延长CA到D,使得AD=AC,连接A1D,BD,则四边形ADA1C1为平行四边形,DA1B(或其补角)就是异面
2、直线BA1与 AC1所成的角.又A1D=A1B=DB=2AB,则A1DB为等边三角形,所以DA1B=60.故选C.3.将正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,异面直线AD与BC所成的角为()A.6B.4C.3D.2答案C不妨以ABC为底面,则由题意,当以A,B,C,D为顶点的三棱锥体积最大,即点D到底面ABC的距离最大时,平面ADC平面ABC,取AC的中点O,连接BO,DO,则易知DO,BO,CO两两互相垂直,所以分别以OD,OB,OC所在直线为z,x,y轴建立空间直角坐标系,令BO=DO=CO=1,则有O(0,0,0),A(0,-1,0),D(0,0
3、,1),B(1,0,0),C(0,1,0),AD=(0,1,1),BC=(-1,1,0),所以cos =ADBC|AD|BC|=122=12,所以异面直线AD与BC所成的角为3.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为()A.12B.23C.33D.22答案B解法一:取BC的中点M,连接EM,DM,B1C,E、M分别为BB1,BC的中点,EMB1C.又知B1CA1D,EMA1D,A1、E、M、D四点共面,且面A1ED面ABCD=DM.过A作ANDM,垂足为N,连接A1N,则A1NDM,A1NA为二面角A1-DM-A的平面角
4、.易知DCMAND,设正方体的棱长为2,则在正方形ABCD中,AN=455,又知AA1=2,A1AN=90,A1N=655,在RtA1AN中,cosA1NA=ANA1N=455655=23.即平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为23.解法二:建立空间直角坐标系如图,设正方体的棱长为2,则D(2,0,0),A1(0,0,2),E(0,2,1),则A1D=(2,0,-2),A1E=(0,2,-1).设面A1ED的法向量为n=(x,y,z),则nA1D=0,nA1E=0,2x-2z=0,2y-z=0x=z,z=2y.令y=1,得n=(2,1,2).易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,
5、0,1),则cos=|nm|n|m|=23.平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为23.5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABAC,AB=AA1=2,AC=2,过BC的中点D作平面ACB1的垂线,交平面ACC1A1于点E,则BE与平面ABB1A1所成角的正切值为()A.55B.510C.1010D.105答案C连接A1C,AC1,交点为O,连接OD,A1B.由题意知,四边形ABB1A1是正方形,所以A1BAB1.由直三棱柱知ACAA1,又ABAC,AA1AB=A,所以AC平面ABB1A1,所以ACA1B.又AB1AC=A,所以A1B平面AB1C.因为O,D分别为A1C,BC
6、的中点,所以ODA1B,故OD平面AB1C,故点E与点O重合.取AA1的中点F,连接EF,BF,所以EFA1C1AC,所以EF平面ABB1A1,故EBF为BE与平面ABB1A1所成的角.又EF=12A1C1=22,BF=AB2+AF2=5,故tanEBF=225=1010.故选C.6.如图,已知AB为圆锥PO的底面直径,PA为母线,点C在底面圆周上,若PA=AB=2,AC=BC,则二面角P-AC-B的正切值是.答案6解析取AC的中点D,连接OD,PD,则ODAC,PDAC,PDO是二面角P-AC-B的平面角.PA=AB=2,AC=BC,PO=3,OD=22,tanPDO=POOD=6,即二面角
7、P-AC-B的正切值为6.7.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面,底面ABCD为直角梯形,ADBC,ABBC,AD=AB=AA1=2BC,E为DD1的中点,F为A1D的中点,则直线EF与平面A1CD所成角的正弦值为.答案23解析因为AB,AD,AA1两两垂直,故以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示,设BC=1,则A(0,0,0),A1(0,0,2),C(2,1,0),D(0,2,0),E(0,2,1),F(0,1,1),FE=(0,1,0),A1D=(0,2,-2),CD=(-2,1,0).设平面
8、A1CD的一个法向量为n=(1,y,z),则nA1D=0,nCD=0,即2y-2z=0,-2+y=0,故n=(1,2,2).设直线EF与平面A1CD所成角为,则sin =|cos|=|nFE|n|FE|=|10+21+20|1+4+40+1+0=23.故直线EF与平面A1CD所成角的正弦值为23.8.已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值为.答案23解析方法一延长FE,CB相交于点G,连接AG,如图所示.设正方体的棱长为3,则GB=BC=3,作BHAG于点H,连接EH,则EHB为所
9、求锐二面角的平面角.BH=322,EB=1,tanEHB=EBBH=23.方法二如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在在线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,设DA=1,由已知条件得A(1,0,0),E1,1,13,F0,1,23,AE=0,1,13,AF=-1,1,23,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),平面AEF与平面ABC所成的锐二面角为,由nAE=0,nAF=0,得y+13z=0,-x+y+23z=0.令y=1,z=-3,x=-1,则n=(-1,1,-3),取平面ABC的法向量为m=(0,0,-1),则cos =|cos|=31111,tan =23.9
10、.(2018江苏,22,10分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.解析如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,设AC,A1C1的中点分别为O,O1,则OBOC,OO1OC,OO1OB,以OB,OC,OO1为基底,建立空间直角坐标系O-xyz.因为AB=AA1=2,所以A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1(3,0,2),C1(0,1,2).(1)因为P为A1B1的中点,所以P32,-12,2.从而BP
11、=-32,-12,2,AC1=(0,2,2).故|cos|=|BPAC1|BP|AC1|=|-1+4|522=31020.因此,异面直线BP与AC1所成角的余弦值为31020.(2)因为Q为BC的中点,所以Q32,12,0,因此AQ=32,32,0,AC1=(0,2,2),CC1=(0,0,2).设n=(x,y,z)为平面AQC1的一个法向量,则 AQn=0,AC1n=0,即32x+32y=0,2y+2z=0.不妨取n=(3,-1,1).设直线CC1与平面AQC1所成角为,则sin =|cos|=|CC1n|CC1|n|=252=55,所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为55.10.(
12、2018贵阳摸底)如图,CD,AB分别是圆柱的上、下底面圆的直径,四边形ABCD是边长为2的正方形,E是底面圆周上不同于A,B两点的一点,AE=1.(1)求证:BE平面DAE;(2)求二面角C-DB-E的余弦值.解析(1)证明:由圆柱的性质知,DA平面ABE,又BE平面ABE,BEDA.又AB是底面圆的直径,E是底面圆周上不同于A,B两点的一点,BEAE.又DAAE=A,DA,AE平面DAE,BE平面DAE.(2)解法一:过A在平面AEB内作垂直于AB的直线,建立如图所示的空间直角坐标系.AB=AD=2,AE=1,BE=3,E32,12,0,D(0,0,2),B(0,2,0),ED=-32,-
13、12,2,BD=(0,-2,2).取平面CDB的一个法向量n1=(1,0,0),设平面EBD的法向量为n2=(x2,y2,z2),则 n2ED=0, n2BD=0,即-32x2-12y2+2z2=0,-2y2+2z2=0,取z2=1,则n2=(3,1,1)为平面EBD的一个法向量.cos=n1n2|n1|n2|=35=155,又易知二面角C-DB-E为钝角,二面角C-DB-E的余弦值为-155.解法二:如图,以E为原点,EB,EA所在的直线分别为x轴,y轴,圆柱过点E的母线所在的直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(0,1,0),B(3,0,0),C(3,0,2),D(0,1,2),E(0,0,
14、0),BC=(0,0,2),CD=(-3,1,0),BD=(-3,1,2),EB=(3,0,0),设n1=(x,y,z)是平面BCD的法向量,则n1BC,n1CD,即2z=0,-3x+y=0,令x=1,则y=3,z=0,n1=(1,3,0),|n1|=2.设n2=(x1,y1,z1)是平面BDE的法向量,则n2BD,n2EB,即-3x1+y1+2z1=0,3x1=0,令z1=1,则y1=-2,x1=0,n2=(0,-2,1),|n2|=5,cos=n1n2|n1|n2|=-2325=-155.又易知二面角C-DB-E为钝角,二面角C-DB-E的余弦值为-155.B组提升题组1.(2018课标全
15、国,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78,SA与圆锥底面所成角为45.若SAB的面积为515,则该圆锥的侧面积为. 答案402解析因为母线SA与圆锥底面所成的角为45,所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形.设底面圆的半径为r,则母线长l=2r.在SAB中,cosASB=78,所以sinASB=158.因为SAB的面积为515,即12SASBsinASB=122r2r158=515,所以r2=40,故圆锥的侧面积为rl=2r2=402.2.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形,ABCD,且ACBD,AC与BD交于O,PO底面ABCD,PO=2,AB=22
16、,E,F分别是AB,AP的中点.则二面角F-OE-A的余弦值为.答案33解析以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题知,OA=OB=2,则A(0,-2,0),B(2,0,0),P(0,0,2),E(1,-1,0),F(0,-1,1),则OE=(1,-1,0),OF=(0,-1,1).设平面OEF的法向量为m=(x,y,z),则 mOE=0, mOF=0,即x-y=0,-y+z=0.令x=1,可得m=(1,1,1).易知平面OAE的一个法向量为n=(0,0,1),则cos=mn|m|n|=33.由图知二面角F-OE-A为锐角,所以
17、二面角F-OE-A的余弦值为33.3.(2018石家庄质量检测(一)如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,且PA底面ABCD,过AB的平面与侧面PCD的交线为EF,且满足SPEFS四边形CDEF=13.(1)证明:PB平面ACE;(2)求PA=AB时,二面角C-AF-D的余弦值为55,求的值.解析(1)证明:四边形ABCD为正方形,ABCD.又CD平面PCD,AB平面PCD,AB平面PCD.又AB平面ABFE,平面ABFE平面PCD=EF,EFABCD.由SPEFS四边形CDEF=13,知E,F分别为PD,PC的中点.如图,连接BD交AC于点G,连接EG,则G为BD的中点.在
18、PBD中,GE为中位线,EGPB.又EG平面ACE,PB平面ACE,PB平面ACE.(2)底面ABCD为正方形,且PA底面ABCD,PA,AB,AD两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设AB=AD=2a(a0),AP=2b(b0),则A(0,0,0),D(0,2a,0),C(2a,2a,0),G(a,a,0),P(0,0,2b),F(a,a,b).PA底面ABCD,DG底面ABCD,DGPA.四边形ABCD为正方形,ACBD,即DGAC.又ACPA=A,DG平面CAF,平面CAF的一个法向量为DG=(a,-a,0).设平面AFD的法向量为m=(x,y,z),而AD=(0,2a,0),AF=(a,a,b),由mAD=0,mAF=0,得0x+2ay+0z=0,ax+ay+bz=0,则y=0,取z=-a,可得x=b,m=(b,0,-a)为平面AFD的一个法向量.设二面角C-AF-D的大小为,则cos =|cos|=DGm|DG|m|=aba2+a2a2+b2=55,得ba=63.又PA=2b,AB=2a,PA=AB,=63.