1、核心素养测评四十 数列的求和(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.数列an的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数n为()A.120B.99C.11D.121【解析】选A.an=-,所以a1+a2+an=(-1)+(-)+(-)=-1=10.即=11,所以n+1=121,n=120.2.已知数列an的通项公式是an=2n-3,则其前20项和为()A.380-B.400-C.420-D.440-【解析】选C.令数列an的前n项和为Sn,则S20=a1+a2+a20=2(1+2+20)-3=2-3=420-.3.已知等比数列an,a1=1,a4=,且a1a2+a2a3+ana
2、n+1k,则k的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选D.设等比数列an的公比为q,则q3=,解得q=,所以an=,所以anan+1=,所以数列anan+1是首项为,公比为的等比数列,所以a1a2+a2a3+anan+1=0.(1)求数列的通项公式.(2)若bn=,记数列的前n项和为Tn,证明:Tn.【解析】(1)当n=1时,2S1=2a1,因为a10,所以a1=2,当n2时,2an=2=-,所以=0,因为an0,所以an-an-1-1=0,所以an-an-1=1,所以是以a1=2为首项,d=1为公差的等差数列,所以an=n+1;(2)由(1)得an=n+1,所以bn=-,所以Tn=b1+b
3、2+bn-1+bn=+=-3,因为Tn+1-Tn=-=0,所以是递增数列,所以TnT1=-3=.10.已知数列an的各项均为正数,且-2nan-(2n+1)=0,nN*.(1)求数列an的通项公式.(2)若bn=2nan,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)由-2nan-(2n+1)=0得an-(2n+1)(an+1)=0,所以an=2n+1或an=-1,又数列an的各项均为正数,负值应舍去,所以an=2n+1,nN*.(2)因为bn=2nan=2n(2n+1),所以Tn=23+225+237+2n(2n+1),2Tn=223+235+2n(2n-1)+2n+1(2n+1),由-得-Tn=
4、6+2(22+23+2n)-2n+1(2n+1)=6+2-2n+1(2n+1)=-2+2n+1(1-2n).所以Tn=(2n-1)2n+1+2.(15分钟35分)1.(5分)若数列an的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+a3+a10=()A.15B.12C.-12D.-15【解析】选A.因为an=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+a10=-1+4-7+10-13+16-19+22-25+28=(-1+4)+(-7+10)+(-13+16)+(-19+22)+(-25+28)=35=15.【变式备选】已知数列an的前n项和为Sn,通项公式an=n(-1)n+1,则S17
5、=()A.10B.9C.8D.7【解析】选B.S17=1-2+3-4+5-6+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+1=9.【一题多解】解决本题还可以采用以下方法:选B.S17=1-2+3-4+5-6+15-16+17=(1+3+17)-(2+4+16)=81-72=9.2.(5分)已知等比数列an的首项为,公比为-,其前n项和为Sn,则Sn的最大值为()A.B.C.D.【解析】选D.因为等比数列an的首项为,公比为-,所以Sn=1-,当n取偶数时,Sn=1-0,解得q=2,所以bn=2n.设等差数列an的公差为d,由b3=a4-2a
6、1可得3d-a1=8,由S11=11b4可得a1+5d=16,联立解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以an的通项公式为an=3n-2,bn的通项公式为bn=2n.(2)设数列a2nbn的前n项和为Tn,由a2n=6n-2得Tn=42+1022+1623+(6n-2)2n,2Tn=422+1023+1624+(6n-8)2n+(6n-2)2n+1,上述两式相减得:-Tn=42+622+623+62n-(6n-2)2n+1=-4-(6n-2)2n+1=-(3n-4)2n+2-16.所以Tn=(3n-4)2n+2+16.所以数列a2nbn的前n项和为(3n-4)2n+2+16.1.已知
7、数列中,a1=2,点在函数f=x2+2x的图像上,其中n=1,2,3,.若bn=+,数列的前n项和为Sn,则S2 020+= ()A.2 020B.20C.2D.1【解析】选D.因为点在函数f=x2+2x的图像上,所以an+1=+2an,所以=,所以bn=-,所以Sn=b1+b2+bn=-+-+-=-,所以Sn+=1,则S2 020+=1.2.已知正项数列an中,a1=1,a2=2,2=+(n2),bn=,数列bn的前n项和为Sn,则S33的值是_.【解析】因为2=+(n2),所以数列是首项为1,公差为22-1=3的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2.所以an=,所以bn=(-),所以数列bn的前n项和Sn=(-1)+(-)+(-)=(-1).则S33=(10-1)=3.答案:3