1、核心素养测评 四十五利用空间向量求二面角与空间距离(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在空间直角坐标系O-xyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1),已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于()A.4 B.2 C.3 D.1【解析】选B.P点到平面OAB的距离为d=2.2.三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若=,则二面角A-BD-C的大小为()A. B.C.或D.或【解析】选C.如图所示,当二面角A-BD-C为锐角时,它就等于=;当二面角A-BD-C为钝角时,它应等于-=-=.3.已知正四棱柱ABCD-A1B1C
2、1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为 ()A.2B.C.D.1【解析】选D.以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(0,2,),易知AC1平面BDE.设n=(x,y,z)是平面BDE的法向量.则取y=1,则n=(-1,1,-)为平面BDE的一个法向量.又=(2,0,0),所以点A到平面BDE的距离是d=1.故直线AC1到平面BED的距离为1.4.如图,点C在圆锥PO的底面圆O上,AB是直径,AB=8,BA
3、C=30,圆锥的母线与底面成的角为60,则点A到平面PBC的距离为()A.B.2C.D.【解析】选C.如图,过点O作AB的垂线Ox,以Ox,OB,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,由题意可得A(0,-4,0),B(0,4,0),C(-2,2,0),P(0,0,4).设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),则所以所以y=z=-x,所以取m=(-1,1),因为=(0,4,4),所以d=,所以点A到平面PBC的距离为. 5.(多选)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD平面ABCD,点M在线段PB上,PD平面MAC,PA=PD=,AB=4,AC,BD交于点E,则()
4、A.M为PB的中点B.二面角B-PD-A的大小为C.若O为AD的中点,则OPOED.直线MC与平面BDP所成的角为【解析】选ABC.如图,连接ME,因为PD平面MAC,平面MAC平面PDB=ME,所以PDME.因为四边形ABCD是正方形,所以E为BD的中点,所以M为PB的中点.如图,取AD的中点O,连接OP,OE.因为PA=PD,所以OPAD.又因为平面PAD平面ABCD,且OP平面PAD,所以OP平面ABCD.因为OE平面ABCD,所以OPOE.因为四边形ABCD是正方形,所以OEAD.如图,建立空间直角坐标系O-xyz,则P(0,0,),D(2,0,0),B(-2,4,0),=(4,-4,
5、0),=(2,0,-).设平面BDP的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则y=1,z=.于是n=(1,1,).平面PAD的法向量为p=(0,1,0),所以cos=.由题意知二面角B-PD-A为锐角,所以它的大小为.由题意知M,C(2,4,0),=.设直线MC与平面BDP所成角为,则sin =|cos|=,所以直线MC与平面BDP所成角不为.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图所示,P是二面角-AB-棱上一点,分别在,内引射线PM,PN,若BPM=BPN=45,MPN=60,则二面角-AB-大小为_.【解析】如图,过M在内作MFAB,过F在内作FNAB交PN于点N,连接MN.因为M
6、PB=NPB=45,所以PMFPNF.设PM=1,则MF=NF=,PM=PN=1,又因为MPN=60,所以MN=PM=PN=1,所以MN2=MF2+NF2,所以MFN=90.答案:907.在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,设PA=PB=PC=a,则点P到平面ABC的距离为_.【解析】根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz,则P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).过点P作PH平面ABC,交平面ABC于点H,则PH的长即为点P到平面ABC的距离.因为PA=PB=PC,所以H为ABC的外心.又因为ABC为正三角形,所以H为ABC的重心,可得
7、H点的坐标为,.所以PH=a.所以点P到平面ABC的距离为a.答案:a8.如图,在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,点M是线段DC1上的动点,则点M到直线AD1距离的最小值为_.世纪金榜导学号【解析】设M(0,m,m)(0ma),=(-a,0,a),直线AD1的一个单位方向向量s 0=-,0,由=(0,-m,a-m),故点M到直线AD1的距离d=,根式内的二次函数当m=-=时取最小值2-a+a2=a2,故d的最小值为a.答案:a三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上的一
8、点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1平面BDA1.世纪金榜导学号(1)求证:CD=C1D.(2)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值.(3)求点C到平面B1DP的距离.【解析】(1)连接AB1,交BA1于点O,连接OD.因为B1P平面BDA1,B1P平面AB1P,平面AB1P平面BA1D=OD,所以B1POD.又因为O为B1A的中点,所以D为AP的中点.因为C1DAA1,所以C1为A1P的中点.所以DC1=AA1=CC1,所以C1D=CD.(2)建立如图所示的空间直角坐标系A1-xyz,则B1(1,0,0),B(1,0,1),D0,1,所以=(1,0,0),=(1,0,1)
9、,=0,1,.设平面BA1D的一个法向量为n=(x1,y1,z1).由得令z1=2,则x1=-2,y1=-1,所以n=(-2,-1,2).又=(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量,所以cos=-.由图形可知二面角A-A1D-B为锐角,所以二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为.(3)因为C(0,1,1),D0,1,B1(1,0,0),P(0,2,0),所以=0,0,-,=1,-1,-,=0,1,-.设平面B1DP的一个法向量为m=(x2,y2,z2).由得令z2=2,则x2=2,y2=1,所以m=(2,1,2).所以点C到平面B1DP的距离d=.10.(2018全国卷)如图,边长为2的正方
10、形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.世纪金榜导学号(1)证明:平面AMD平面BMC.(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.【解析】(1)由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以 DMCM.又 BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.当三棱锥M-ABC体积最大时,M为的中点.由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),=(-2,1,1),=(0,2,0),=(2,0,0),设n=(x,y,z)是平面MAB的法向量,则即可取n=(1,0,2).是平面MCD的法向量,因此cos=,sin=,所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是.