1、第五讲幂函数与二次函数知识梳理双基自测知识点一幂函数函数yxyx2yx3yxyx1图象定义域RRR_x|x0_x|x0_值域R_y|y0_R_y|y0_y|y0_奇偶性_奇_函数_偶_函数_奇_函数_非奇非偶_函数_奇_函数单调性在R上单调递增在_(，0)_上单调递减，在_(0，)_上单调递增在R上单调递增在_0，)_上单调递增在_(，0)_和_(0，)_上单调递减公共点_(1,1)_知识点二二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0(a0)恒成立”的充要条件是“a0，且0”(2)“ax2bxc0(a0)恒成立”的充要条件是“a0，且0”题组一走出误区1判
2、断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)yx0的图象是一条直线()(2)幂函数的图象不可能出现在第四象限()(3)若幂函数yxn是奇函数，则yxn是增函数()(4)二次函数yax2bxc(xR)不可能是奇函数()(5)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(6)当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数()题组二走进教材2(必修1P79T1改编)若幂函数y(m23m3)xm2m2的图象不经过原点，则实数m的值为_1或2_.解析由解得m1或m2.经检验m1或m2都适合3(必修1P39BT1改编)已知幂函数yf(x)的图象过点，则此函数的解析式为_yx_，在区间_(0，)_上单
3、调递减解析f(x)的图象过点，22，f(x)x.由f(x)的图象可知，f(x)的减区间是(0，)4(必修1P44AT9改编)二次函数yf(x)满足f(1)f(3)，x1，x2是方程f(x)0的两根，则x1x2_2_.题组三走向高考5(2018上海，7,5分)已知.若幂函数f(x)x为奇函数，且在(0，)上递减，则_1_.解析本题主要考查幂函数的图象和性质幂函数f(x)x为奇函数，可取1,1,3，又f(x)x在(0，)上递减，0，故1.6(2017浙江卷，5)若函数f(x)x2axb在区间0,1上的最大值是M，最小值是m，则Mm(B)A与a有关，且与b有关B与a有关，且与b无关C与a无关，且与b
4、无关D与a无关，且与b有关解析f(x)2b，当01时，f(x)minmfb，f(x)maxMmaxf(0)，f(1)maxb,1ab，Mmmax与a有关，与b无关；当1时，f(x)在0,1上单调递减，Mmf(0)f(1)1a与a有关，与b无关综上所述，Mm与a有关，但与b无关，故选B考点突破互动探究考点一幂函数图象与性质自主练透例1 (1)(2021河北衡水武邑中学高三上第一次调研)已知幂函数yf(x)的图象，经过点(2,2)，则幂函数的解析式为(C)Ay2xByxCyxDyx(2)若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(B)Adc
5、baBabcdCdcabDabdc(3)已知幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为(B)A3B1C2D1或2(4)若(a1)(32a)，则实数a的取值范围是_.解析(1)幂函数yf(x)x的图象经过点(2,2)，22，解得，幂函数的解析式为yx.故选C(2)由幂函数图象性质知，在x1右侧从下至上次数依次增大，故选B(3)由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3，经检验只有n1符合题意，故选B(4)由幂函数y性质得，解得1a0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc的开口向上，故可排除A；若a0，b0，从而0
6、，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B名师点拨二次函数图象的识别方法二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面识别角度2利用二次函数的图象和性质求最值例4 已知f(x)x22x5.(1)若xR，则函数f(x)的最小值为_4_；(2)若x1,2，则函数f(x)的最小值为_4_，最大值为_8_；(3)若xt，t1，则函数f(x)的最小值为_.分析对于(1)(2)直接利用二次函数的图象性质求解；对于(3)由于函数f(x)的对称轴确定为x1，但函数的定义域不确定，因此解题时要以定义域内是否含有对称轴为标准分情况讨论解析(1)f(x)x22x5(x1)244，f(x)
7、的最小值为4.(2)f(x)的对称轴为x1，又11,2，f(x)minf(1)4，由二次函数的图象知，f(x)在1,1上单调递减，在1,2上单调递增又f(1)(1)22(1)58，f(2)222255，f(x)max8，f(x)min4.(3)f(x)的对称轴为x1.当t1时，f(x)在t，t1上单调递增，f(x)minf(t)t22t5，当t1t1即0t1时，f(x)在t,1上单调递减，在1，t1上单调递增，f(x)minf(1)12254.当t11即t0，f(x)在t，t1上单调递减，f(x)minf(t1)t24.f(x)min引申在(3)的条件下，求f(x)的最大值解析当1即t时f(x
8、)最大值为f(t1)t24当1，即t0，则yminc，若xR，a0，则ymaxc.当定义域不是R时，常见的题型有三种：(1)区间确定，对称轴确定，此类题型只需结合二次函数便可求出最值；(2)区间确定，对称轴变化(含参)；(3)对称轴确定，区间不确定(含参)(2)(3)两类问题，通常要把与区间端点、中点比较，分类求解角度3二次函数中的恒成立问题例5 (1)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)2xm恒成立，则实数m的取值范围是_(，1)_.解析(1)作出二次函数f(x)的草图，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得m2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，令
9、g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可，g(x)x23x1m在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1.由m10，得m2xm等价于m1，所以g(x)在区间1,1上递减，则g(x)在区间1,1上的最小值为g(x)ming(1)1，所以m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1)名师点拨二次函数中恒成立问题的求解思路(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，分类求解(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否能分离这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)m
10、ax，af(x)恒成立af(x)min.注：af(x)有解af(x)min，af(x)有解af(x)max.变式训练2(1)(角度1)设b0，二次函数yax2bxa21的图象为下列之一，则a的值不可能为(C)ABC1D1(2)(角度2)已知f(x)4x24ax4aa2在0,1内的最大值为5，则a的值为(D)AB1或C1或D5或(3)(角度3)(2021石家庄模拟)设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围为_.解析(1)当b0时，对称轴为y轴，a时开口向下，a210，A正确a时开口向上，a210时，对称轴不可能为y轴，由给出的图可知对称轴在y轴右侧，故a0，所以二次函数的图
11、象为第三个图，图象过原点，故a210，a1，又a0，所以a1.故选C(2)f(x)424a，对称轴为直线x.当1，即a2时，f(x)在0,1上递增，f(x)maxf(1)4a2.令4a25，得a1(舍去)当01，即0a0，即ax22x20，x(1,4)，得a在(1,4)上恒成立令g(x)22，所以g(x)maxg(2)，所以要使f(x)0在(1,4)上恒成立，只要a即可解法二：当a0时，f(x)2x2，显然f(4)6，不合题意，a0当a0时，二次函数f(x)开口向上，对称轴为x.若1即a1时，f(x)minf(1)a0，即a1.若4即00得a矛盾.若14即a0得a.即a1.当a矛盾综上可知a的
12、取值范围是.引申若将“一切x值都有f(x)0”改为“f(x)0有解”呢？解析由解法一知a在(1,4)上有解即aming(1)0，a的取值范围是(0，)名师讲坛素养提升转换变量解决二次函数问题中的核心素养例6 (2021沧州七校联考)已知两函数f(x)8x216xk，g(x)2x24x4，其中k为实数(1)对任意x3,3，都有f(x)g(x)成立，求k的取值范围；(2)存在x3,3，使f(x)g(x)成立，求k的取值范围；(3)对任意x1，x23,3，都有f(x1)g(x2)，求k的取值范围解析(1)设h(x)f(x)g(x)6x212x4k，问题转化为当x3,3时，h(x)0恒成立，故h(x)
13、max0.由二次函数性质可知h(x)maxh(3) 86k，有86k0，得k86.(2)由题意，存在x3,3，使f(x)g(x)成立，即h(x)f(x)g(x)6x212x4k0在x3,3时有解，故h(x)min0.由二次函数的性质可知h(x)minh(1)10k，有10k0，得k10.(3)对任意x1，x23,3，都有f(x1)g(x2)成立，所以f(x)maxg(x)min，x3,3由二次函数的性质可得，f(x)maxf(3)120k，g(x)ming(1)2.故有120k2.得k118.答案(1)k86(2)k10(3)k118探究 本题的三个小题表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应
14、认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件名师点拨二次函数中恒成立问题的求解思路(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离这两个思路的依据是：af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.变式训练3已知函数f(x) x22x，g(x)ax2(a0)，对任意的x11,2都存在x01,2，使得g(x1)f(x0)，则实数a的取值范围是_.解析当x01,2时，由f(x)x22x，得f(x0)1,3因为对任意的x11,2都存在x01,2，使得g(x1)f(x0)，所以即当x11,2时，g(x1)1,3所以当a0时，解得a，故实数a的取值范围是.