1、核心素养测评十六 导数与函数零点一、选择题(每小题5分,共20分)1.函数f(x)=x3+x2+x+1的零点个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.因为f(x)=x2+2x+1=(x+1)20,所以f(x)在R上单调递增,因为f(0)=10,f(-3)=-20,a-160,当a=16时,f(x)的图象与x轴有2个交点;当a16时,f(x)的图象与x轴只有1个交点.所以f(x)的零点个数为1或2.方法二:f(x)=x3-12x+a的零点个数方程x3-12x=-a的解的个数g(x)=x3-12x与h(x)=-a的交点个数.画出g(x)=x3-12x与h(x)=-a的图象.由g(x)=3x2
2、-12=0,得x=2,当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)g(x)+0-0+g(x)16-16所以g(x)的图象如图所示:因为a16,所以y=-a-16.由图可知直线y=-a与y=x3-12x的图象有1个或2个交点.3.若函数f(x)= 恰有2个零点,则a的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选D.当x0时,令f(x)=0,可得x3-x2-a=0,设g(x)=x3-x2,则g(x)=x(3x-2),当0x,g(x)时,g(x)0,g(x)min=g= -.当x0时,令f(x)=0,可得x2+2x-a=0,设h(x)=x2+2x,h(x)m
3、in=-1,所以函数f(x)= 恰有2个零点,则a的取值范围为.4.函数f(x)=ex+a-x3+2x2在(0,+)上只有一个零点,则a的值为()A.4B.4ln 2-3C.2D.5ln 2-4【解析】选D.函数f(x)=ex+a-x3+2x2在(0,+)上只有一个零点,可得ea=在(0,+)上只有一个解.令g(x)=,可得g(x)=-x,在(0,+)有2个极值点,x=1和x=4;x(0,1)时函数是减函数,x(1,4)时,函数是增函数,x(4,+)时函数是减函数,g(0)=0,所以函数g(x)的最大值为g(4)=,函数f(x)=ex+a-x3+2x2在(0,+)上只有一个零点,可得ea=,所
4、以a=5ln 2-4.二、填空题(每小题5分,共20分)5.设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是_.(写出所有正确条件的编号)a=-3,b=-3;a=-3,b=2;a=-3,b2;a=0,b=2;a=1,b=2.【解析】令f(x)=x3+ax+b,则f(x)=3x2+a.当a0时,f(x)0,f(x)单调递增,正确;当a0时,若a=-3,则f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),所以f(x)极大=f(-1)=-1+3+b=b+2,f(x)极小=f(1)=1-3+b=b-2,要使f(x)=0仅有一个实根,需f(x)极大0,所以b2,正确,不正
5、确.答案:6. (2019南通模拟)已知函数f(x)=+与g(x)=6x+a的图象有3个不同的交点,则a的取值范围是_.【解析】原问题等价于函数h(x)=+-6x与函数y=a的图象有3个不同的交点,由h(x)=x2+x-6=(x-2)(x+3)=0,得x=2或x=-3,当x(-,-3)时,h(x)0,h(x)单调递增;当x(-3,2)时,h(x)0,h(x)单调递增.且h(-3)=,h(2)=-,数形结合可得a的取值范围是.答案:7.已知函数f(x)=x3+mx+,g(x)=-ln x.mina,b表示a,b中的最小值,若函数h(x)=minf(x),g(x)(x0)恰有三个零点,则实数m的取
6、值范围是_.【解析】f(x)=3x2+m,因为g(1)=0,所以要使h(x)=minf(x),g(x)(x0)恰有三个零点,需满足f(1)0,f0,m-,-m-.答案:8.设函数f(x)=是单调函数.a的取值范围是_;若f(x)的值域是R,且方程f(x)=ln(x+m)没有实根,则m的取值范围是_.【解析】当x1时,f(x)=x+,则f(x)=1-0恒成立,故f(x)在1,+)上单调递增,f(x)min=f(1)=2,当x1时,f(x)=ax,由于f(x)在1,+)上单调递增,故f(x)=ax也为单调递增函数,且ax2恒成立,所以故a的取值范围为(0,2,由可得当x1时,f(x)2,因为f(x
7、)的值域是R,所以当x=1时,ax=2,所以a=2,因为方程f(x)=ln (x+m)没有实根,令g(x)=ln(x+m),当y=2x与y=g(x)=ln(x+m)相切时,设切点为,因为g(x)=,所以=2,2x0=ln=ln ,所以x0=-ln 2,所以m=-x0=+ln 2=ln ,所以m0且c-2.【解析】(1)因为f(x)=x-(a-1)ex.所以xa-1时,f(x)0,函数f(x)在(a-1,+)上单调递增,当 xa-1时,f(x)0,所以函数h(x)在(0,+)上单调递增,又h(1)=e-30,所以存在x0(1,2),使h(x)=0,故当x(0,x0)时,g(x)0,所以函数g(x
8、)存在唯一最小值x0,满足=x0+2,所以g(x0)=x0+=x0+1(2,3),因为a=g(x)=x+有解,所以ag(x0)2,所以a2.10.(2020龙岩模拟)已知函数f(x)=(x-1)ln x,g(x)=x-ln x-.(1)求证:函数y=f(x)的图象恒在函数y=g(x)图象的上方.(2)当m0时,令h(x)=mf(x)+g(x)的两个零点x1,x2(x1x2).求证:x2-x10).则p(x)=ln x+1-1=ln x,令p(x)=0,得x=1.所以x(0,1)时p(x)0,所以p(x)在(0,1)为减函数,在(1,+)为增函数,所以p(x)p(1)=0-1+=0,即f(x)g(x). 故函数y=f(x)的图象恒在函数y=g(x)图象的上方.(2)由h(x)=mf(x)+g(x)=m(x-1)ln x+x-ln x-有两个零点,当m0时h(x)=m+1-.则h(x)在(0,+)为增函数,且h(1)=0,则当x(0,1)时h(x)0,h(x)为增函数,所以h(x)min=h(1)=1-0,h(e)=m(e-1)+e-1-0.所以h(x)在和(1,e)上各有一个零点x1,x2(x1x2),故x2-x1e-.